Тапсырма: 3

Теңдеулер жүйесін шешіңіз: \(\begin {cases} 2^{x + y} = \Big( {1\over 4} \Big)^{-{17 \over 2}}, \\ \log_2x + \log_2y = 4. \end {cases}\)

1-шешім.

\(x > 0,\) және \(y > 0\) екенін ескере отырып жүйенің екінші теңдеуін мәндес түріне келтіреміз.

\(\log_2x + \log_2y = 4;\)

\(\log_2(xy) = 4;\)

\(xy = 16.\)

2. Дәрежелердің қасиеттерін қолдана отырып жүйенің бірінші теңдеуін мәндес түріне келтіреміз.

\(2^{x + y} = \Big( {1 \over 4} \Big)^{-{17 \over 2}};\)

\(2^{x + y} = (2^{-2})^{-{17 \over 2}};\)

\(2^{x + y} = 2^{-2 \cdot \big(-{17 \over 2} \big)};\)

\(2^{x + y} = 2^{17};\)

\(x + y = 17.\)

3. Шыққан теңдеуден х айнымалысын өрнектейміз:

\(x = 17 - y.\)

4. Алынған өрнекті бірінші теңдеудегі х айнымалысының орнына қойып, квадраттық теңдеуді шешеміз.

\((17 -y) y = 16;\)

\(y^2 - 17y + 16 = 0. \)

\(\left[ \begin{array}{ccc} y_1 = 1, \\ y_2 = 16. \end{array} \right.\)

5. x > 0, y > 0 екенін ескере отырып екінші айнымалының мәнін тауып, түбірлердің іріктеуін орындаймыз.

\(\begin {cases} x = 16, \\y = 1; \end {cases}\) немесе \(\begin {cases} x = 1, \\y = 15. \end {cases}\)

Жауабы: х = 1, у = 16  және х = 16, у = 1, немесе (1; 16), (16; 1).

2-шешім.

\(\begin {cases} \log_2x + \log_2y = 4, \\ 2^{x + y} = \big( {1 \over 4} \big)^{-{17 \over 2}}; \end {cases} \Leftrightarrow \begin {cases} x > 0,\\ y > 0,\\ \log_2(xy) = 4, \\ 2^{x + y} = (2^{-2})^{-{17 \over 2}}; \\ \end {cases} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \begin {cases} x > 0, \\ y > 0,\\ xy = 16, \\ 2^{x + y} = 2^{-2 \cdot \big(-{17 \over 2}\big)}; \\ \end {cases} \Leftrightarrow \begin {cases} x > 0,\\ y>0, \\ xy = 16, \\ 2^{x + y} = 2^{17}; \\ \end {cases} \Leftrightarrow \begin {cases} x > 0, \\ y > 0, \\ xy = 16, \\ x + y = 17; \end {cases} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \begin {cases} x > 0, \\ y > 0, \\ xy = 16, \\ x = 17 - y; \end {cases} \Leftrightarrow \begin {cases} x > 0, \\ y > 0, \\ x = 17 - y, \\ (17 - y)y = 16; \end {cases} \Leftrightarrow \begin {cases} x > 0, \\ y > 0, \\ x = 17 - y, \\ y^2 - 17y + 16 = 0; \end {cases} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \begin {cases} x > 0,\\ y > 0, \\ x = 17 - y; \\ \left[ \begin {array}{ccc} y_1 = 1, \\ y_2 = 16; \end {array} \right. \end {cases} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{ccc} \begin {cases} x = 1, \\ y = 16; \end {cases} \\ \begin {cases} x = 16, \\ y = 1. \end {cases}\end{array} \right.\)

Жауабы: х = 1, у = 16 және х = 16, у = 1, немесе (1; 16), (16; 1).

Қайталауға арналған материалдар:

11-сынып – Көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулер – Логарифмдік теңдеулер және олардың жүйелері

11-сынып – Көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулер – Көрсеткіштік теңдеулер және олардың жүйелері