Задание 3

Решите систему уравнений: \(\begin {cases} 2^{x + y} = \Big( {1\over 4} \Big)^{-{17 \over 2}}, \\ \log_2x + \log_2y = 4. \end {cases}\)

Решение 1.

1. Учитывая, что \(x > 0,\) \(y > 0,\) приведем второе уравнение системы к равносильному уравнению:

\(\log_2x + \log_2y = 4;\)

\(\log_2(xy) = 4;\)

\(xy = 16.\)

2. Используя свойства степени, приведем первое уравнение системы к равносильному:

\(2^{x + y} = \Big( {1 \over 4} \Big)^{-{17 \over 2}};\)

\(2^{x + y} = (2^{-2})^{-{17 \over 2}};\)

\(2^{x + y} = 2^{-2 \cdot \big(-{17 \over 2} \big)};\)

\(2^{x + y} = 2^{17};\)

\(x + y = 17.\)

3. Выразим переменную \(x\) из получившегося уравнения:

\(x = 17 - y.\)

4. Подставим полученное выражение вместо переменной \(x\) в первое уравнение и решим получившееся квадратное уравнение:

\((17 -y) y = 16;\)

\(y^2 - 17y + 16 = 0. \)

\(\left[ \begin{array}{ccc} y_1 = 1, \\ y_2 = 16. \end{array} \right.\)

5. Учитывая, что \(x > 0,\) \(y > 0,\) найдем значение второй переменной и осуществим отбор корней:

\(\begin {cases} x = 16, \\y = 1; \end {cases}\) или \(\begin {cases} x = 1, \\y = 16. \end {cases}\)

Ответ: \(x = 16,\) \(y = 1\) и \(x = 1,\) \(y = 16,\) или \((16; 1),\) \((16, 1).\)

Решение 2.

\(\begin {cases} \log_2x + \log_2y = 4, \\ 2^{x + y} = \big( {1 \over 4} \big)^{-{17 \over 2}}; \end {cases} \Leftrightarrow \begin {cases} x > 0,\\ y > 0,\\ \log_2(xy) = 4, \\ 2^{x + y} = (2^{-2})^{-{17 \over 2}}; \\ \end {cases} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \begin {cases} x > 0, \\ y > 0,\\ xy = 16, \\ 2^{x + y} = 2^{-2 \cdot \big(-{17 \over 2}\big)}; \\ \end {cases} \Leftrightarrow \begin {cases} x > 0,\\ y>0, \\ xy = 16, \\ 2^{x + y} = 2^{17}; \\ \end {cases} \Leftrightarrow \begin {cases} x > 0, \\ y > 0, \\ xy = 16, \\ x + y = 17; \end {cases} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \begin {cases} x > 0, \\ y > 0, \\ xy = 16, \\ x = 17 - y; \end {cases} \Leftrightarrow \begin {cases} x > 0, \\ y > 0, \\ x = 17 - y, \\ (17 - y)y = 16; \end {cases} \Leftrightarrow \begin {cases} x > 0, \\ y > 0, \\ x = 17 - y, \\ y^2 - 17y + 16 = 0; \end {cases} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \begin {cases} x > 0,\\ y > 0, \\ x = 17 - y; \\ \left[ \begin {array}{ccc} y_1 = 1, \\ y_2 = 16; \end {array} \right. \end {cases} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{ccc} \begin {cases} x = 1, \\ y = 16; \end {cases} \\ \begin {cases} x = 16, \\ y = 1. \end {cases}\end{array} \right.\)

Ответ: \(x = 16,\) \(y = 1\) и \(x = 1,\) \(y = 16,\) или \((16; 1),\) \((16, 1).\)

Материалы для повторения:

11 класс – Показательные и логарифмические уравнения – Логарифмические уравнения и их системы

11 класс – Показательные и логарифмические уравнения – Показательные уравнения и их системы