4-тапсырма

Теңдеулер жүйесін шешіңіз: \(\left\{\begin{matrix} xy=2^4, \\ \log_2^2x + \log_2^2y =10. \end{matrix}\right.\)

1-шешімі.

Айнымалыларды алмастыруды орындаймыз.

\(\log_2x = a\)  болса, онда x = 2a;

\(\log_2y = b\) болса, онда \(y = 2^b.\)

Жаңа айнымалылармен жүйе құрып, оны шешеміз.

\(\left\{\begin{matrix} 2^a \cdot 2^b=2^4, \\ a^2+b^2=10; \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} a+b=4, \\ a^2+b^2=10; \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} a=4-b, \\ (4-b)^2+b^2=10; \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} a=4-b, \\ 2b^2-8b+6=0; \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} a=4-b, \\ \left[\begin{matrix} b_1=1, \\ b_2=3; \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left[\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} a_1=3, \\ b_1=1, \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} a_2=1, \\ b_2=3. \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.\)

Кері алмастыруды орындаймыз және алынған жүйелердің әрқайсысын жеке шешеміз.

\(1) \; \left\{\begin{matrix} \log_2x = 3, \\ \log_2y = 1; \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} x= 8, \\ y = 2. \end{matrix}\right.\)

\(2) \; \left\{\begin{matrix} \log_2x = 1, \\ \log_2y = 3; \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} x= 2, \\ y = 8. \end{matrix}\right.\)

Жауабы: \((2; 8), \, (8; 2).\)

2-шешімі.

Жүйенің бірінші теңдеуіндегі \(x\) айнымалысын \(y\) айнымалысы арқылы өрнектейміз: \(x=\frac{16}{y} \)

Алынған өрнекті екінші теңдеуге қоямыз және оны шешеміз:

\(\log_2^2\frac{16}{y} + \log_2^2y =10;\)

\((\log_2 16-\log_2 y)^2 + \log_2^2y =10;\)

\((4-\log_2 y)^2 + \log_2^2y =10;\)

\(16-8\log_2 y+\log_2^2y + \log_2^2y-10=0;\)

\(2\log_2^2y - 8\log_2 y+6=0;\)

\(\log_2^2y - 4\log_2 y+3=0.\)

Алынған квадрат теңдеуді \(\log_2y\) -ке қатысты шешеміз.

\(\left[\begin{matrix} \log_2y = 1, \\ \log_2y = 3; \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left[\begin{matrix} y= 2, \\ y = 8. \end{matrix}\right. \)

Екінші айнымалының сәйкес мәндерін табамыз:

\(y = 2, \, x = 8;\)

\(y = 8, \, x = 2.\)

Жауабы: \((2; 8), \, (8; 2).\)