Задание 4

Решите систему уравнений: \(\left\{\begin{matrix} xy=2^4, \\ \log_2^2x + \log_2^2y =10. \end{matrix}\right.\) 

Решение 1.

Выполним замену переменных.

\(\log_2x = a,\) то \(x = 2^a;\)

\(\log_2y = b,\) то \(y = 2^b.\)

Составим и решим систему с новыми переменных.

\(\left\{\begin{matrix} 2^a \cdot 2^b=2^4, \\ a^2+b^2=10; \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=4, \\ a^2+b^2=10; \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=4-b, \\ (4-b)^2+b^2=10; \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=4-b, \\ 2b^2-8b+6=0; \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=4-b, \\ \left[\begin{matrix} b_1=1, \\ b_2=3; \end{matrix}\right. \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} a_1=3, \\ b_1=1; \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} a_2=1, \\ b_2=3. \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.\)

Выполним обратную замену и решим отдельно каждую из полученных систем.

\(1) \; \left\{\begin{matrix} \log_2x = 3, \\ \log_2y = 1; \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x= 8, \\ y = 2. \end{matrix}\right.\) 

\(2) \; \left\{\begin{matrix} \log_2x = 1, \\ \log_2y = 3; \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x= 2, \\ y = 8. \end{matrix}\right.\) 

Ответ: \((2; 8),\) \((8; 2).\)

Решение 2.

Выразим переменную \(x\) через \(y\) в первом уравнении системы.

\(x=\frac{16}{y}.\)

Подставим полученное выражение во второе уравнение и решим его.

\(\log_2^2\frac{16}{y} + \log_2^2y =10;\)

\((\log_2 16-\log_2 y)^2 + \log_2^2y =10;\)

\((4-\log_2 y)^2 + \log_2^2y =10;\)

\(16-8\log_2 y+\log_2^2y + \log_2^2y-10=0;\)

\(2\log_2^2y - 8\log_2 y+6=0;\)

\(\log_2^2y - 4\log_2 y+3=0.\)

Решим получившееся квадратное уравнение относительно \(\log_2y.\)

\(\left[\begin{matrix} \log_2y = 1, \\ \log_2y = 3; \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{matrix} y= 2, \\ y = 8. \end{matrix}\right.\)

Найдем соответствующие значения второй переменной.

\(y = 2,\) \(x = 8;\)

\(y = 8,\) \(x = 2.\)

Ответ: \((2; 8),\) \((8; 2).\)

Материалы для повторения:

11 класс - Показательные и логарифмические уравнения - Показательные уравнения и их системы