3-тапсырма

Теңсіздіктер жүйесін шешіңіз: \(\begin{cases} lg(x^2-y^2)-lg(x+y)=0;\\ 2^{2+log_2(x^2+y^2)}=20. \end{cases}\)

1-шешімі.

1. \(x^2 – y^2 >0\) және \(x + y > 0\) ескере отырып, жүйенің бірінші теңдеуін оған теңбе-тең теңдеуге келтіреміз.

\(lg(x^2-y^2)-lg(x+y)=0\);

\(lg\bigg( \frac{x^2-y^2}{x+y}\bigg)=0\);

\(lg\bigg(\frac{(x-y)(x+y)}{x+y}\bigg)=0\);

\(lg(x-y)=0\);

\(x – y = 10^0\);

\(x – y = 1\).

2. Алынған теңдеуден х айнымалысын у айнымалысы арқылы өрнектейміз: \(x = y + 1\).

3. Екінші теңдеудің екі жақ бөлігін де негізі 2 болатындай логарифмдеу арқылы оған теңбе-тең теңдеуге келтіреміз.

\(2^{2+log_2(x^2+y^2)}=20\);

\(log_2(2^2+log_2(x^2+y^2)=log_220\);

\(2+log_2(x^2+y^2)=log_220\);

\(2+log_2(x^2+y^2)=log_24+log_25\);

\(2+log_2(x^2+y^2)=2+log_25\);

\(log_2(x^2+y^2)=log_25\);

\(x^2+y^2=5\).

4. \(x^2+y^2=5\) теңдеуіндегі \(x \) айнымалысының орнына \(y + 1\) өрнегін қойып, квадрат теңдеу аламыз және шешеміз.

\((y + 1)^2 + y^2 = 5\);

\(2y^2 + 2y – 4 = 0\);

\(y^2 + y – 2 = 0\);

\(y_1 = – 2\) және \(y_2 = 1\).

5. Екінші айнымалының сәйкес мәндерін табамыз:

\(x_1 = – 1\) және \(x_2 = 2\).

6. \(x + y > 0\) болғандықтан, (–1; –2) – бөгде түбір.

Жауабы: (2; 1) немесе \(x = 2; y = 1.\)

2-шешімі.

Берілген жүйе үшін айнымалылардың мүмкін мәндер облысын анықтаймыз.

\(\begin{cases}x^2-y^2>0;\\x+y>0.\end{cases}\)

ММЖ ескере отырып теңдеулер жүйесіне түрлендіруді орындаймыз.

\(\begin{cases}lg(x^2-y^2)-lg(x+y)=0;\\2^{2+log_2(x^2+y^2)}=20, \end{cases}→\begin{cases}lg(x-y)=0;\\2+log_2(x^2+y^2)=log_220,\end{cases}→\\ →\begin{cases}x-y=1;\\x^2+y^2=5,\end{cases}\iff \begin{cases}x=y+1;\\y2+y-2=0\end{cases},\iff \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} x=-1; \hfill \\ y=-2, \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} x=2; \hfill \\ y=1. \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right.\)

Мүмкін мәндер облысын ескере отырып анықтаймыз: (–1; –2) бөгде түбір.

Жауабы: (2; 1) немесе \(x = 2; y = 1\).