Задание 3

Решите систему уравнений: \(\begin{cases} \lg(x^2-y^2)-\lg(x+y)=0,\\ 2^{2+\log_2(x^2+y^2)}=20. \end{cases}\)        

Решение 1.

1. Учитывая \(x^2 – y^2 >0\) и \(x + y > 0,\) приведем первое уравнение системы к равносильному.

\(\lg(x^2-y^2)-\lg(x+y)=0;\)

\(\lg\bigg( \frac{x^2-y^2}{x+y}\bigg)=0;\)

\(\lg\bigg(\frac{(x-y)(x+y)}{x+y}\bigg)=0;\)

\(\lg(x-y)=0;\)

\(x – y = 10^0;\)

\(x - y = 1.\)

2. Выразим переменную \(x\) через переменную \(y\) в полученном уравнении: \(x = y + 1.\)

3. Прологарифмировав обе части второго уравнения по основанию \(2,\) приведем его к равносильному.

\(2^{2+\log_2(x^2+y^2)}=20;\)

\(\log_2(2^{2+\log_2(x^2+y^2)})=\log_220;\)

\(2+\log_2(x^2+y^2)=\log_220;\)

\(2+\log_2(x^2+y^2)=\log_24+\log_25;\)

\(2+\log_2(x^2+y^2)=2+\log_25;\)

\(\log_2(x^2+y^2)=\log_25;\)

\(x^2+y^2=5.\)

4. Подставив выражение \(y + 1\) вместо переменной \(x \) в уравнение \(x^2+y^2=5,\) получим и решим квадратное уравнение.

\((y + 1)^2 + y^2 = 5;\)

\(2y^2 + 2y - 4 = 0;\)

\(y^2 + y - 2 = 0;\)

\(y_1 = -2\) и \(y_2 = 1.\)

5. Найдем соответствующие значения второй переменной:

\(x_1 = -1\) и \(x_2 = 2.\)

6. Так как \(x + y > 0,\) то \((-1; -2)\) – постороннее решение.

Ответ: \((2; 1),\) или \(x = 2; \, y = 1.\)

Решение 2.

Определим область допустимых значений переменных для данной системы.

\(\begin{cases}x^2-y^2>0,\\x+y>0.\end{cases}\)

Выполним преобразования системы уравнений с учетом ОДЗ.

\(\begin{cases}\lg(x^2-y^2)-\lg(x+y)=0,\\2^{2+\log_2(x^2+y^2)}=20; \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}\lg(x - y)=0,\\2+\log_2(x^2+y^2)=\log_220;\end{cases} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \begin{cases}x-y=1,\\x^2+y^2=5;\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x=y+1,\\y^2+y-2=0;\end{cases} \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} x=-1, \hfill \\ y=-2, \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} x=2, \hfill \\ y=1. \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right.\)

Учитывая область допустимых значений, определим: \((-1; -2)\) – постороннее решение.

Ответ: \((2; 1)\) или \(x = 2; \, y = 1.\)

Материалы для повторения:

11 класс - Показательные и логарифмические уравнения - Показательные уравнения и их системы;

11 класс - Показательные и логарифмические уравнения - Логарифмические уравнения и их системы.