Скачай приложение iTest

Готовься к школьным экзаменам в более удобном формате

Запомнить

Восстановить пароль

Регистрация

Задание 4

Предыдущий конспект Следующий конспект

Конспект

Вычислите:

\(\int\limits_0^1\frac{9-4x^2+\sqrt{3-2x}}{3-2x}dx.\)

Решение.

1. Представим подынтегральную функцию в виде суммы двух функций. Используя свойство \(\int(u+v)dx=\int udx+vdx,\) получим

\(\int\limits_0^1\frac{9-4x^2+\sqrt{3-2x}}{3-2x}dx=\int\limits_0^1\frac{9-4x^2}{3-2x}dx+\int\limits_0^1\frac{\sqrt{3-2x}}{3-2x}dx.\)

2. Вычислим значение каждого интеграла, сокращая дроби в подынтегральных выражениях и применяя формулу Ньютона-Лейбница.

\(\int\limits_0^1\frac{9-4x^2}{3-2x}dx=\int\limits_0^1\frac{(3-2x)(3+2x)}{3-2x}dx=\int\limits_0^1(3+2x)dx=(3x+x^2)\bigg|^1_0=4;\)

\(\int\limits_0^1\frac{\sqrt{3-2x}}{3-2x}dx=\int\limits_0^1\frac{1}{\sqrt{3-2x}}dx=(-\sqrt{3-2x})\bigg|^1_0=-1+\sqrt{3}.\)

Ответ: \(3+\sqrt{3}.\)

Использовали формулы:

\(\int kdx=kx+C,\) где \(k - const;\)

\(\int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C;\)

\(\int \frac{dx}{\sqrt{x}}=2\sqrt{x}+C.\)

Материалы для повторения:

Сообщить об ошибке