+7 (727) 344 95 95
Сдать пробный ЕНТ
Русский

Скачай приложение iTest

Готовься к школьным экзаменам в более удобном формате

logo-device logotype logotype-float

Задание 5
Предыдущий конспект Следующий конспект
Конспект

Представьте число \(12\) в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы удвоенное произведение куба первого слагаемого на второе было наибольшим.

Решение 1.

Пусть первое слагаемое \(x,\) тогда второе \((12 - x).\) По условию задачи данные слагаемые неотрицательны. Составим функцию зависимости удвоенного произведения куба первого слагаемого на второе от значения \(x:\) \(f(x) = 2x^3(12 - x).\)

Таким образом, задача сводится к нахождению такого значения \(x,\) при котором функция \(f(x)\) принимает наибольшее значение на отрезке \([0;12].\)

Найдём стационарные точки функции на заданном отрезке.

\(f'(x) = 72x^2 - 8x^3;\)

\(f'(x) = 0;\)

\(72x^2 - 8x^3 = 0;\)

\(x_1 = 0,\) \(x_2 = 9;\)

\(x_2 \in [0;12].\)

\(x_2 = 9\) является точкой максимума функции \(f(x),\) так как при переходе через \(x = 9\) производная меняет знак с «+» на «–». Следовательно, наибольшее значение на отрезке \([0;12]\) функция \(f(x) = 2x^3(12 - x)\) принимает в точке \(x = 9.\)

Ответ: \(9\) – первое слагаемое, \(3\) – второе слагаемое; иначе \(12 = 9 + 3.\)

Решение 2.

Данная задача является задачей на оптимизацию.

1. Выделим оптимизируемую величину: \(y\) – удвоенное произведение куба первого слагаемого на второе. Будем искать её наибольшее значение.

2. За \(x\) примем первое слагаемое, тогда \((12-x)\) второе слагаемое.

3. Установим область определения по условию задачи: \(x \in [0;12].\)

4. Выразим оптимизируемую величину \(y\) через \(x\!:\)

\(y = 2x^3(12 - x).\)

5. Найдём максимум данной функции на отрезке \([0;12].\)

\(y' = 72x^2 - 8x^3;\)

\(y' = 0;\)

\(72x^2 - 8x^3 = 0;\)

\(x_1 = 0,\) \(x_2 = 9;\)

\(x_2 \in [0;12]\) и \(x = 9\) является точкой максимума функции \(y,\) так как при переходе через \(x = 9\) производная меняет знак с «+» на «–».

Таким образом, составим ответ на вопрос задачи с учётом условий.

Ответ: \(9\) – первое слагаемое, \(3\) – второе слагаемое; иначе \(12 = 9 + 3.\)

Материалы для повторения:

10 класс - Функции и их свойства - Наибольшее и наименьшее значение функций на промежутке



Сообщить об ошибке