Задание 2

Решите неравенство: \(-4\sin\Big(\frac{3x}{4}+\frac{π}{4}\Big)>-2\sqrt{2}.\)

Решение 1.

1. Введем новую переменную: \(\frac{3x}{4}+\frac{π}{4}=t.\)

Неравенство примет вид: \(-4\sin t>-2\sqrt{2}.\)

2. Разделим обе части неравенства на \((-4):\) \(\sin t<\frac{\sqrt{2}}{2}.\)

Построим в одной системе координат эскизы графиков функций: \(y = \sin t\) и \(y=\frac{\sqrt2}2.\)

Найдем решения неравенства \(\sin t<\frac{\sqrt{2}}{2},\) принадлежащие отрезку \(\Big[\frac{π}{2}; \frac{5\,π}{2}\Big]\) длинной \(2\pi.\) На этом отрезке графики имеют две точки пересечения: \(t=\frac{3\,π}{4}\) и \(t=\frac{9\,π}{4}.\) Решениями неравенства на отрезке \(\Big[\frac{π}{2}; \frac{5\,π}{2}\Big]\) являются все числа интервала \(\Big(\frac{3\,π}{4}; \frac{9\,π}{4}\Big).\) Так как функция \(y = \sin t\) периодична с периодом \(2\,\pi,\) все решения данного неравенства \(\Big(\frac{3\,π}{4}+2\,\pi n;\frac{9\,π}{4}+2\,\pi n\Big), \, n∈Z.\) 

То есть \({3 \pi \over 4} + 2 \pi n < t < {9 \pi \over 4} + 2 \pi n, n \in Z.\)

3. Выполним обратную замену.

\(\frac{3\,π}{4}+2\,\pi n< \frac{3x}{4}+\frac{\pi}{4}<\frac{9\,\pi}{4}+2\,\pi n,\, n\in Z.\)

Решим данное двойное неравенство относительно переменной \(x,\) получим:

\(\frac{2\, \pi}{3}+\frac{8\,\pi}{3}n< x<\frac{8\,\pi}{3}+\frac{8\,\pi}{3}n, \, n∈Z.\)

Ответ: \(x∈\Big(\frac{2\,\pi}{3}+\frac{8\,\pi}{3}n;\,\frac{8\,\pi}{3}+\frac{8\,\pi}{3}n\Big), n∈Z,\) иначе \(x∈\Big(\frac{8\,\pi}{3}\big(n+\frac{1}{4}\big);\frac{8\,\pi}{3}(n+1)\Big), n∈Z.\)

Решение 2.

1. Введем новую переменную: \(\frac{3x}{4}+\frac{π}{4}=t.\)

Неравенство примет вид: \(-4\sin t>-2\sqrt2\)

2. Разделим обе части неравенства на  \((-4):\) \(\sin t<\frac{\sqrt{2}}{2}.\)

3. Решим неравенство, используя единичную окружность.

Таким образом, \(-\frac{5\,π}{4}+2\,πn < t <\frac{\,π}{4}+2\,πn, n \in Z.\)

4. Выполним обратную замену: \(-\frac{5\,π}{4}+2\pi n< \frac{3x}{4}+\frac{π}{4}<\frac{π}{4}+2\,\pi n, n∈Z.\)

5. Решим неравенство относительно переменной \(x\!:\) \(-2\pi + \frac{8\,\pi n}{3}< x<\frac{8\,\pi n}{3}, n∈Z.\)

Ответ: \(x \in \big(-2\,\pi + \frac{8\,\pi n}{3}; \, \frac{8\,\pi n}{3}\big), \, n∈Z\) иначе \( x \in \big(\frac{2\,\pi}{3}(4n-3); \, \frac{8\,\pi n}{3}\big), \, n∈Z.\)

Материалы для повторения:

10 класс - Тригонометрические функции - Тригонометрические неравенства и методы их решения