Задание 1

Упростите выражение: \(\sqrt[3]{2x\sqrt[4]{\frac{1}{x}}-\frac{x\sqrt[4]{x}}{\sqrt{x}}}.\)

Решение 1.

Упростим выражение по действиям.

\(1) \; 2x\sqrt[4]{\frac{1} {x}}=2x \cdot \frac{1}{\sqrt[4]{x}}=2 \cdot \frac{\sqrt[4]{x^4}}{\sqrt[4]{x}}=2\sqrt[4]{x^3};\)

\(2) \; \frac{x\sqrt[4]{x}}{\sqrt{x}}=\frac{\sqrt[4]{x^5}}{\sqrt[4]{x^2}}=\sqrt[4]{x^3};\)

\(3) \; 2\sqrt[4]{x^3}-\sqrt[4]{x^3}=\sqrt[4]{x^3};\)

\(4) \; \sqrt[3]{\sqrt[4]{x^3}}=\sqrt[4]{x}.\)

Ответ: \(\sqrt[4]{x}.\)

При выполнении преобразований использовались свойства для любого натурального \(n,\) целого \(k\) и любых неотрицательных чисел \(a\) и \(b:\)

\(1) \; (\sqrt[n]{a})^n=a;\)

\(2) \; \sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b};\)

\(3) \; \sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}},\) \(b≠0;\)

\(4) \; \sqrt[n]{\sqrt[k]{a}}=\sqrt[nk]{a};\)

\(5) \; (\sqrt[n]{a})^k=\sqrt[n]{a^k},\) если \(k ≤ 0,\) то \(a ≠ 0.\)

Решение 2.

Упростим выражение, записав его в виде выражения, содержащего степень с рациональным показателем. Используем определение степени с рациональным показателем: \(a^{\frac{k}{n}}=\sqrt[n]{a^k}\) для любого натурального \(n,\) целого \(k\) и любого неотрицательного числа \(a.\)

Получим:

\(\sqrt[3]{2x\sqrt[4]{\frac{1}{x}}-\frac{x\sqrt[4]{x}}{\sqrt{x}}}=\Bigg(2x \cdot x^{-\frac{1}{4}}-\frac{x \cdot x^{\frac{1}{4}}}{x^{\frac{1}{2}}} \Bigg)^{\frac{1}{3}}.\)

Преобразуем выражение, используя свойства степени.

\(\Bigg(2x \cdot x^{-\frac{1}{4}}-\frac{x \cdot x^{\frac{1}{4}}}{x^{\frac{1}{2}}}\Bigg)^{\frac{1}{3}}=\Big(2x^{1-\frac{1}{4}}-x^{1+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}}\Big)^{\frac{1}{3}}=\Big(2x^{\frac{3}{4}}-x^{\frac{3}{4}}\Big)^{\frac{1}{3}}= \\ =\Big(x^{\frac{3}{4}}\Big)^{\frac{1}{3}}=x^{\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4}}=x^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{x}.\)

Ответ: \(\sqrt[4]{x}.\)

При выполнении преобразований использовались свойства степени с рациональным показателем для любых рациональных чисел \(p\) и \(q,\) любых положительных чисел \(a\) и \(b:\)

\(1) \ a^p \cdot a^q = a^{p + q};\)

\(2) \ a^p : a^q = a^{p - q};\)

\(3) \ (a^p)^q = a^{p q};\)

\(4) \ (a^b)^p = a^p \cdot b^p;\)

\(5) \ (a:b)^p = a^p : b^p.\)

Решение 3.

\(\sqrt[3]{2x\sqrt[4]{\frac{1}{x}}-\frac{x\sqrt[4]{x}}{\sqrt{x}}}=\sqrt[3]{\frac{2x}{\sqrt[4]{x}}-\frac{x\sqrt[4]{x}}{\sqrt[4]{x^2}}}=\sqrt[3]{\frac{2x}{\sqrt[4]{x}}-\frac{x}{\sqrt[4]{x}}}=\sqrt[3]{\frac{x}{\sqrt[4]{x}}}=\sqrt[3]{\frac{\sqrt[4]{x^4}}{\sqrt[4]{x}}}= \\ =\sqrt[3]{\sqrt[4]{x^3}}=\sqrt[3\cdot 4]{x^3}=\sqrt[4]{x}.\)

При выполнении преобразований использовались свойства для любого натурального \(n,\) целого \(k\) и любых неотрицательных чисел \(a\) и \(b:\)

\(1) \; (\sqrt[n]{a})^n=a;\)

\(2) \; \sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b};\)

\(3) \; \sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}},\) \(b≠0;\)

\(4) \; \sqrt[n]{\sqrt[k]{a}}=\sqrt[nk]{a};\)

\(5) \; (\sqrt[n]{a})^k=\sqrt[n]{a^k},\) если \(k ≤ 0, \) то \(a ≠ 0.\)

Материалы для повторения:

11 класс - Степени и корни - Степень с рациональным показателем и ее свойства;

11 класс - Степени и корни - Корень n-ой степени и его свойства.