1-тапсырма

Өрнекті ықшамдаңыз: \(\sqrt[3]{2x\sqrt[4]{\frac{1}{x}}-\frac{x\sqrt[4]{x}}{\sqrt{x}}}.\)

1-шешімі.

Өрнекті амалдап ықшамдаймыз.

1. \(2x\sqrt[4]{\frac{1}{x}}=2x\cdot\frac{1}{\sqrt[4]{x}}=2\cdot\frac{\sqrt[4]{x^4}}{\sqrt[4]{x}}=2\sqrt[4]{x^3}\);
2. \(\frac{x\sqrt[4]{x}}{x}=\frac{\sqrt[4]{x^5}}{\sqrt[4]{x^2}}=\sqrt[4]{x^3}\);
3. \(2\sqrt[4]{x^3}-\sqrt[4]{x^3}=\sqrt[4]{x^3}\);
4. \(\sqrt[3]{\sqrt[4]{x^3}}=\sqrt[4]{x}\).

Жауабы: \(\sqrt[4]{x}\).

Өрнекті түрлендіруде қасиеттер кез келген n натурал саны, k бүтін саны және кез келген теріс емес a және b сандары үшін қолданылды:

1. \((\sqrt[n]{a})^n=a\);
2. \(\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}\);
3. \(\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}, b≠0\);
4. \(\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}}=\sqrt[nk]{a}\);
5. \((\sqrt[n]{ak})=\sqrt[n]{ak}\), егер \(k ≤ 0\) болса, онда \(а ≠ 0\).

2-шешімі.

Өрнекті рационал көрсеткішті дәрежесі бар өрнек түрінде жазып ықшамдаймыз.

Рационал көрсеткішті дәреже анықтамасын қолданамыз: кез келген n натурал саны, k бүтін саны және кез келген теріс емес a саны үшін \(a^\frac{k}{n}=\sqrt[n]{a^k}\) .

\(\sqrt[3]{2x^4\sqrt{\frac{1}{x}}-\frac{x\sqrt[4]{x}}{\sqrt{x}}}=\bigg(2x\cdot x^{-\frac{1}{4}}-\frac{x\cdot x^\frac{1}{4}}{x^\frac{1}{2}}\bigg)^\frac{1}{3}\) формуласын аламыз.

Дәреже қасиеттерін қолдана отырып өрнекті түрлендіреміз:

\(\bigg(2x\cdot x^{-\frac{1}{4}}-\frac{x\cdot x14}{x12}^\frac{1}{3}\bigg)=\big(2x^{1 - \frac{1}{4}}-x^{1 + \frac{1}{4}- \frac{1}{2}}\big)^{\frac{1}{3}}=\\=\big(2x^{\frac{3}{4}}-x^{\frac{3}{4}}\big)^\frac{1}{3}=\big(x^\frac{3}{4}\big)^\frac{1}{3}=x^{\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4}}=x^\frac{1}{4}=\sqrt[4]{x}\).

Жауабы: \(\sqrt[4]{x}\).

Өрнекті түрлендіруде кез келген p және q рационал сандары мен кез келген a және b оң сандары үшін рационал көрсеткішті дәреже қасиеттері  қолданылды:

\(a^p \cdot a^q = a^{p + q}\);

\(a^p : a^q = a^{p – q}\);

\((a^p)^q = a^{p q}\);

\((ab)^p = a^p \cdot b^p\);

\((a:b)^p = a^p : b^p\).

3-шешімі.

\(\sqrt[3]{2x\sqrt[4]{\frac{1}{x}}-\frac{x\sqrt[4]{x}}{\sqrt{x}}}=\sqrt[3]{\frac{2x}{\sqrt[4]x}-\frac{x\sqrt[4]{x}}{\sqrt[4]{x^2}}}=\sqrt[3]{\frac{2x}{\sqrt[4]{x}}-\frac{x}{\sqrt[4]{x}}}=\\=\sqrt[3]{\frac{x}{\sqrt[4]{x}}}=\sqrt[3]{\frac{\sqrt[4]{x^4}}{\sqrt[4]{x}}}=\sqrt[3]{\sqrt[4]{x^3}}=\sqrt[3\cdot 4]{x^3}=\sqrt[4]{x} \)

Өрнекті түрлендіруде дәреже көрсеткіштері  n натурал саны мен k бүтін саны болатын теріс емес a және b сандары  үшін дәреже қасиеттері қолданылды:

1. \(\big(\sqrt[n]{a}\big)^n=a\);
2. \(\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}\);
3. \(\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}, b≠0\);
4. \(\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}}=\sqrt[nk]{a}\);
5. \(\big(\sqrt[n]{a}\big)^k=\sqrt[n]{a^k}\), егер \( k ≤ 0\) болса, онда \(а ≠ 0\).