2-тапсырма

Теңсіздікті шешіңіз: \(-4sin\bigg(\frac{3x}{4}+\frac{π}{4}\bigg)>-2\sqrt{2}\).

1-шешімі.

1. Жаңа айнымалыны енгіземіз: \(\frac{3x}{4}+\frac{π}{4}=t\).

Теңсіздік келесі түрге келеді: \(-4sint>-2\sqrt{2}\).

2. Теңсіздіктің екі бөлігін де (–4)-ке бөлеміз: \(sint<\frac{\sqrt{2}}{2}\).

Бір координаталық жүйеде \(y = sint\)  және \(y=\frac{\sqrt2}2\) функциялар графигінің сызбасын саламыз.

\(sint<\frac{\sqrt{2}}{2}\) теңсіздігі \(\big[\frac{π}{2}; \frac{5π}{2}\big]\) кесіндісіне тиісті, ұзындығы \(2\pi\) болатын шешімін табамыз. Бұл аралықта графиктердің екі қиылысу нүктесі бар: \(t=\frac{3π}{4}\) және \(t=\frac{9π}{4}\). Теңсіздіктің \(\big[\frac{π}{2}; \frac{5π}{2}\big]\) аралығындағы шешімдері \(\big(\frac{3π}{4};\frac{9π}{4}\big)\) интервал сандарының барлығы болады. \(y = sint\) функциясы периодты және периоды \(2\pi-\)ге тең болғандықтан, берілген теңсіздіктің барлық шешімдері \(\bigg(\frac{3π}{4}+2\pi n;\frac{9π}{4}+2\pi n, n∈Z\bigg)\) аралығында жатады. 

Яғни, \(\frac{3π}{4}+2\pi n\)

3. Кері алмастыруды орындаймыз:

\(\frac{3π}{4}+2\pi n< \frac{3x}{4}+\frac{\pi}{4}<\frac{9\pi}{4}+2\pi n, n∈Z.\)

Берілген қос теңсіздікті х айнымалысына қатысты шешіп, келесі шешімді аламыз:

\(\frac{2\pi}{3}+\frac{8\pi}{3}n< x<\frac{8\pi}{3}+\frac{8\pi}{3}n, n∈Z.\)

Жауабы: \(x∈\bigg(\frac{2\pi}{3}+\frac{8\pi}{3}n;\frac{8\pi}{3}+\frac{8\pi}{3}n\bigg), n∈Z,\)  басқаша \(x∈\bigg(\frac{8\pi}{3}\bigg(n+\frac{1}{4}\bigg);\frac{8\pi}{3}(n+1)\bigg), n∈Z.\)  

2-шешімі.

1. Жаңа айнымалы енгіземіз: \(\frac{3x}{4}+\frac{π}{4}=t\).

Теңсіздік мына түрге келеді: \(-4sint>-2\sqrt2\).

2. Теңсіздіктің екі жақ бөлігін де (–4)-ке бөлеміз: \(sint<\frac{2}{\sqrt{2}}.\)

3. Теңсіздікті бірлік шеңберінің көмегімен шешеміз.

Сонымен, \(-\frac{5\,π}{4}+2\,πn < t <\frac{\,π}{4}+2\,πn, n \in Z.\)

4. Кері айнымалы енгіземіз:  \(-\frac{5π}{4}+2\pi n< \frac{3x}{4}+\frac{π}{4}<\frac{π}{4}+2\pi n, n∈Z.\) 

5. Теңсіздікті x айнымалысына қатысты шешеміз: \(-2p + \frac{8\pi n}{3}< x<\frac{8\pi n}{3}, n∈Z.\)

Жауабы: \(x ϵ-\big(2\pi + \frac{8\pi n}{3}; \frac{8\pi n}{3}\big), n∈Z\), басқаша \( xϵ \big(\frac{2\pi}{3}(4n-3); \frac{8\pi n}{3}\big), n∈Z.\)

Қайталауға арналған материалдар:

11-сынып – Көрсеткіштік және логарифмдік функциялары – Көрсеткіштік теңдеу мен теңдеулер жүйесін шешудің әдістері

11-сынып – Көрсеткіштік және логарифмдік функциялары – Логарифмдік теңдеулер мен теңсіздіктері шешудің әдістері