
iTest қолданбасын жүктеп алу
Мектеп емтихандарына ыңғайлырақ форматта дайындалыңыз
5-тапсырма
\(y = \log_9(6x - x^2) - {6 \over x}\) функция графигінің төменгі жарты жазықтықта жатқанын дәлелдеңіз.
Шешімі.
\(\log_9(6x - x^2) - {6 \over x} < 0.\) екенін дәлелдейміз.
1) Берілген функцияның анықталу облысын табамыз:
\(\begin{cases} 6x-x^2>0, \\ x≠0; \end{cases} \Leftrightarrow x∈(0;6).\)
2) \(p(x) = \log_9(6x - x^2)\) функциясының \((0;6)\) интервалындағы ең үлкен мәнін табамыз. Функцияның берілген интервалдағы стационар нүктелері:
\(p'(x) = {6 - 2x \over (6x - x^2) \ln9};\)
\(6 - 2x = 0, \ x = 3.\)
Функцияның интервалдағы және стационар нүктесіндегі мәндерін анықтап, ең үлкенін табамыз.
\(p(3) = 1;\)
\(\lim\limits_{x \to 0} \log_9(6x-x^2) = -\infty;\)
\(\lim\limits_{x \to 6} \log_9(6x-x^2) = -\infty.\)
Осылайша, \((0;6)\) аралығында \(\log_9(6x-x^2)<1\)
3) \(q(x) = -{6 \over x}\) функциясының \((0;6)\) интервалындағы ең үлкен мәнін табамыз.
Функцияның берілген интервалындағы стационар нүктелері.
\(p'(x) = {6 \over x^2},\) стационар нүктелері жоқ.
Функцияның интервалындағы мәндерін анықтап, ең үлкенін табамыз.
\(\lim\limits_{x \to 0}(-{6 \over x}) = -\infty\)
\(\lim\limits_{x \to 6}(-{6 \over x}) = -1\)
Осылайша \((0;6)\) аралығында \((-{6 \over x})<-1\).
4) \((0;6)\) аралығында \(p(x) + q(x)\) бағалаймыз.
\(p(x) = \log_9(6x-x^2) < 1,\)
\(q(x) = (-{6 \over x}) < -1,\)
\(p(x) + q(x) = \log_9(6x - x^2) - {6 \over x} < 0.\)
Дәлелденді.