Толық ҰБТ тапсыру
Қазақша

iTest қолданбасын жүктеп алу

Мектеп емтихандарына ыңғайлырақ форматта дайындалыңыз

5-тапсырма

Конспект

\(y = \log_9(6x - x^2) - {6 \over x}\) функция графигінің төменгі жарты жазықтықта жатқанын дәлелдеңіз.

Шешімі.

\(\log_9(6x - x^2) - {6 \over x} < 0.\) екенін дәлелдейміз.

1) Берілген функцияның анықталу облысын табамыз:

\(\begin{cases} 6x-x^2>0, \\ x≠0; \end{cases} \Leftrightarrow x∈(0;6).\)

2) \(p(x) = \log_9(6x - x^2)\) функциясының \((0;6)\) интервалындағы ең үлкен мәнін табамыз. Функцияның берілген интервалдағы стационар нүктелері:

\(p'(x) = {6 - 2x \over (6x - x^2) \ln9};\)

\(6 - 2x = 0, \ x = 3.\)

Функцияның интервалдағы және стационар нүктесіндегі мәндерін анықтап, ең үлкенін табамыз.

\(p(3) = 1;\)

\(\lim\limits_{x \to 0} \log_9(6x-x^2) = -\infty;\)

\(\lim\limits_{x \to 6} \log_9(6x-x^2) = -\infty.\)

Осылайша, \((0;6)\) аралығында \(\log_9(6x-x^2)<1\)

3) \(q(x) = -{6 \over x}\)  функциясының \((0;6)\) интервалындағы ең үлкен мәнін табамыз.

Функцияның берілген интервалындағы стационар нүктелері.

\(p'(x) = {6 \over x^2},\) стационар нүктелері жоқ.

Функцияның интервалындағы мәндерін анықтап, ең үлкенін табамыз.

\(\lim\limits_{x \to 0}(-{6 \over x}) = -\infty\)

\(\lim\limits_{x \to 6}(-{6 \over x}) = -1\)

Осылайша \((0;6)\) аралығында \((-{6 \over x})<-1\).

4) \((0;6)\) аралығында \(p(x) + q(x)\) бағалаймыз.

\(p(x) = \log_9(6x-x^2) < 1,\)

\(q(x) = (-{6 \over x}) < -1,\)

\(p(x) + q(x) = \log_9(6x - x^2) - {6 \over x} < 0.\)

Дәлелденді.



Қате туралы хабарландыру