Скачай приложение iTest

Готовься к школьным экзаменам в более удобном формате

Запомнить

Восстановить пароль

Регистрация

Задание 5

Предыдущий конспект Следующий конспект

Конспект

Докажите, что график функции \(y = \log_9(6x - x^2) - {6 \over x}\) лежит в нижней полуплоскости.

Решение.

Докажем, что \(\log_9(6x - x^2) - {6 \over x} < 0.\)

1) Найдем область определения заданной функции:

\(\begin{cases} 6x-x^2>0, \\ x≠0; \end{cases} \Leftrightarrow x∈(0;6).\)

2) Найдем наибольшее значение функции \(p(x) = \log_9(6x - x^2)\) на интервале \((0;6).\)

Стационарные точки функции на заданном интервале:

\(p'(x) = {6 - 2x \over (6x - x^2) \ln9};\)

\(6 - 2x = 0;\)

\(x = 3.\)

Определим значения функции на интервале и в стационарной точке, найдем наибольшее.

\(p(3) = 1;\)

\(\lim\limits_{x \to 0} \log_9(6x-x^2) = -\infty;\)

\(\lim\limits_{x \to 6} \log_9(6x-x^2) = -\infty.\)

Таким образом, \(\log_9(6x-x^2)<1\) на интервале \((0;6).\)

3) Найдем наибольшее значение функции \(q(x) = -{6 \over x}\) на интервале \((0;6).\)

Стационарные точки функции на заданном интервале.

\(p'(x) = {6 \over x^2},\) стационарных точек нет.

Определим значения функции на интервале и найдем наибольшее.

\(\lim\limits_{x \to 0}\Big(-{6 \over x}\Big) = -\infty;\)

\(\lim\limits_{x \to 6}\Big(-{6 \over x}\Big) = -1.\)

Таким образом, \(\Big(-{6 \over x}\Big)<-1\) на интервале \((0;6).\)

4) Оценим \(p(x) + q(x)\) на интервале \((0;6).\)

\(p(x) = \log_9(6x-x^2) < 1;\)

\(q(x) = \Big(-{6 \over x}\Big) < -1;\)

\(p(x) + q(x) = \log_9(6x - x^2) - {6 \over x} < 0.\)

Доказано.

Материалы для повторения:

Сообщить об ошибке