Скачай приложение iTest

Готовься к школьным экзаменам в более удобном формате

Запомнить

Восстановить пароль

Регистрация

Задание 4

Предыдущий конспект Следующий конспект

Конспект

Найдите критические точки функции: \(y = \sin2x+2\cos x - 2x.\)

Решение.

1) Областью определения функции являются все действительные числа.

2) Найдем критические точки с помощью производной:

\(y = \sin2x+2 \cos x-2x.\)

Используем правило дифференцирования суммы \((f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x),\)

правило дифференцирования сложной функции \(h(x) = f(g(x)):\)

\(h'(x) = f'(g(x)) ⋅ g'(x), \)

а также формулы дифференцирования \((\cos x)' = -\sin x,\) \((\sin x)' = \cos x,\) \((x^n)' = nx^{n-1};\)

Получим:

\(y' = (\sin2x)' + 2 ⋅ (\cos x)' - 2 ⋅ x' = 2\cos2x - 2\sin x - 2. \)

Критические точки – это внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует.

Решим уравнение:

\(2\cos2x - 2\sin x - 2 = 0;\)

\(\cos2x - \sin x - 1 = 0.\)

Используем формулу косинуса двойного угла \(\cos2x = 1 - 2\sin^2x,\) получим:

\(-2\sin^2x - \sin x = 0;\)

\(\sin x(2\sin x - 1) = 0.\)

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл.

\(\left[ \begin{array}{ccc} \sin x = 0, \\ \sin x = {1 \over 2}. \end{array} \right.\)

\(\left[ \begin{array}{ccc} x = πn, n∈Z, \\ x = (-1)^k {π \over 6} + πk, k∈Z. \end{array} \right. \)

Ответ: \(πn, n \in Z,\) \((-1)^k {π \over 6} + πk, k \in Z.\)

Материалы для повторения:

Сообщить об ошибке