6-тапсырма

\(f(x)=|3x-2|\) функция графигінен \(A(3; 0)\) нүктесіне жақын нүктені табу.

1-шешімі.

Есеп шарты бойынша сызба саламыз.

\(A\) нүктесінен функция графигіне дейінгі ең қысқа қашықтық \(A\) нүктесінен функция графигіне жүргізілген нормал кесіндісі. Функция графигі ортақ ұшы (басы) бар екі сәуле болғандықтан, онда \(A\) нүктесінен тек бір ғана \(AB\) нормал кесіндісін жүргізуге болады.

Сонымен есепте \(B\) нүктесінің координатасын табамыз.

\(f(x)=|3x-2|\) функция графигіне \(B(x_0; y_0)\) нүктесі арқылы жүргізілген нормал теңдеуі келесі түрге ие:

\(y=-\frac{1}{f'(x_0)}(x-x_0)+f(x_0).\)

\(f'(x)=3,\) онда \(f'(x_0)=3.\)

\(x_0 > \frac{2}{3}.\) болғанда \(f(x_0)=3x_0-2\).

Онда \(y=-\frac{1}{3}(x-x_0)+3x_0-2=-\frac{1}{3}x+3\frac{1}{3}x_0-2.\)

Нормал графигі \(A(3; 0)\) нүктесі арқылы өтетіндіктен, оның координаталары теңдеуді дұрыс сандық теңдікке келтіреді:

\(0=-\frac{1}{3} \cdot 3+3\frac{1}{3}x_0-2.\)

Алынған теңдеуден \(x_0\)-ді табамыз.

\(3\frac{1}{3}x_0=\frac{1}{3} \cdot 3+2;\)

\(3\frac{1}{3}x_0=3;\)

\(x_0=0,9.\)

Онда  \(y_0 =f(x_0)=3x_0-2=0,7.\)

Жауабы: \(B(0,9; 0,7).\)

2-шешімі.

Есеп шарты бойынша сызба саламыз.

\(A\) нүктесінен функция графигіне дейінгі ең қысқа қашықтық \(y = 3x - 2\) графигінің бұтағына дейін перпендикуляр болады.

\(y = 3x - 2\) түзуіне перпендикуляр болатын \(AB\) түзуінің теңдеуін \(y = k_{1x} + b,\) түрінде құрастырамыз, мұнда \(k_1 = -\frac{1}{3}.\)

Түзулердің перпендикулярлық шарты: «егер \(k_1 = -\frac{1}{k_2}\) болса, онда \(y = k_{1x} + b_1\)  және \(y = k_{2x} + b_2\) түзулері перпендикуляр.

\(AB\) түзуі \(A(3; 0)\) нүктесінен өтетіндіктен, онда оның координаталары теңдеуді дұрыс сандық теңдікке келтіреді:

\(0=-\frac{1}{3} \cdot 3+b;\)

\(b = 1.\)

Осылайша \(AB\!: \, y=-\frac{1}{3} \cdot x+1.\)

\(AB\) түзуі мен \(y = 3x - 2\) функция графигінің қиылысу нүктесінің координаталарын табамыз.

\(-\frac{1}{3} \cdot x+1=3x-2;\)

\(x=0,9;\)

\(y =3 \cdot 0,9-2=0,7.\)

Жауабы: \(B(0,9; 0,7).\)

Қайталауға арналған материалдар:

10-сынып – Туынды – Жанаманың бұрыштық коэффициенті және теңдеуі