+7 (727) 344 95 95
Сдать пробный ЕНТ
Русский

Скачай приложение iTest

Готовься к школьным экзаменам в более удобном формате

logo-device logotype logotype-float

Задание 6
Предыдущий конспект Следующий конспект
Конспект

На графике функции \(f(x)=|3x-2|\) найти точку, ближайшую к точке \(A(3; 0).\)

Решение 1.

Выполним чертеж по условию задачи.

Кратчайшим расстоянием от точки \(A\) до графика функции является отрезок нормали, проведенной из точки \(A\) к графику функции. Так как графиком функции являются два луча с общим началом, то из точки \(A\) возможно провести только одну нормаль \(AB.\)

Таким образом, задача сводится к нахождению координат точки \(B.\)

Уравнение нормали к графику функции \(f(x)=|3x-2|\) через точку \(B(x_0; y_0)\) имеет вид:

\(y=-\frac{1}{f'(x_0)}(x-x_0)+f(x_0).\)

\(f'(x)=3,\) то \(f'(x_0)=3.\)

\(f(x_0)=3x_0-2,\) так как \(x_0 > \frac{2}{3}.\)

Тогда \(y=-\frac{1}{3}(x-x_0)+3x_0-2=-\frac{1}{3}x+3\frac{1}{3}x_0-2.\)

Так как график нормали проходит через точку \(A(3; 0),\) то ее координаты обращают уравнение в верное числовое равенство:

\(0=-\frac{1}{3} \cdot 3+3\frac{1}{3}x_0-2.\)

Из полученного уравнения найдем \(x_0.\)

\(3\frac{1}{3}x_0=\frac{1}{3} \cdot 3+2;\)

\(3\frac{1}{3}x_0=3;\)

\(x_0=0,9.\)

Тогда \(y_0 =f(x_0)=3x_0-2=0,7.\)

Ответ: \(B(0,9; 0,7).\)

Решение 2.

Выполним чертеж по условию задачи.

Кратчайшим расстоянием от точки \(A\) до графика функции является перпендикуляр до ветви графика \(y = 3x - 2.\)

Составим уравнение прямой \(AB,\) перпендикулярной прямой \(y = 3x - 2\) в виде \(y = k_{1x} + b,\) где \(k_1 = -\frac{1}{3}.\)

Условие перпендикулярности прямых: «Прямые \(y = k_{1x} + b_1\) и \(y = k_{2x} + b_2\) перпендикулярны, если \(k_1 = -\frac{1}{k_2}\)».

Так как прямая \(AB\) проходит через точку \(A(3; 0),\) то ее координаты обращают уравнение в верное числовое равенство:

\(0=-\frac{1}{3} \cdot 3+b;\)

\(b = 1.\)

Таким образом \(AB:\) \(y=-\frac{1}{3} \cdot x+1.\)

Найдем координаты точки пересечения прямой \(AB\) с графиком функции \(y = 3x - 2.\)

\(-\frac{1}{3} \cdot x+1=3x-2;\)

\(x=0,9;\)

\(y =3 \cdot 0,9-2=0,7.\)

Ответ: \(B(0,9; 0,7).\)

Материалы для повторения:

10 класс - Функции и их свойства - Исследование функции

10 класс - Производная - Угловой коэффициент касательной и ее уравнение



Сообщить об ошибке