Тапсырма 6

Көлемі \({π \over 4}\) – ге тең болатын цилиндрдің ең кіші толық бетінің ауданын табыңыз.

Шешім 1.

 х – цилиндр табаны радиусы болсын, онда биіктігі – \(h = {1 \over 4x^2},\) себебі көлемі \({π \over 4}\) – ке тең. Есеп шарты бойынша цилиндр элементтері теріс емес. Цилиндрдің толық бетінің ауданы х –тің мәніне тәуелді функция құраймыз: \(S(x) = 2πx^2 + {π \over 2x}.\)

Осылайша есеп, V(x) функциясы \([0; +\infty)\) аралығында қабылдайтын ең кіші х-тің мәнін табуға келіп саяды.

Функцияның берілген аралықтағы стационарлық(тұрақты) нүктелерін табамыз.

\(S'(x) = 4πx – {π \over 2x^2};\)

\(S'(x) = 0;\)

\(4πx – {π \over 2x^2} = 0;\)

\(x = {1 \over 2};\)

\(x \in [0; +\infty).\)

\(x = {1 \over 2}\) S(x) функциясының минимум нүктесі болып табылады, себебі ол нүктеден өткенде туынды таңбасын « – » -тен « + »-ке ауыстырады. Осыдан \([0; +\infty)\) аралығында \(S(x) = 2πx^2 + {π \over 2x}\) функциясы х нүктесінде ең үлкен мәнді қабылдайды.

Есептің сұрағына жауабын табамыз.

\(S \Big({1 \over 2} \Big) = 2π \cdot \Big( {1 \over 2} \Big) ^2 + {π \over 2 \cdot {1 \over 2}} = 1,5π \) кв. бір.

Жауабы: \(1,5π \) кв. бір.

Шешім 2.

Берілген тапсырма оңтайландыруға арналған тапсырма болып табылады.

1. Оңтайландыратын шаманы белгілейміз: S – цилиндрдің  толық бетінің ауданы. Оның ең үлкен мәнін іздейміз.

2. Табаны радиусын х деп аламыз, онда биіктігі – \(h = {1 \over 4x^2},\) көлемі \({π \over 4}\) – ке тең.

3. Есеп шарты бойынша анықталу облысын белгілейміз: \(x \in [0; +\infty).\)

4. Оңтайландырылған S шамасын х арқылы өрнектейміз:

\(S(x) = 2πx^2 + {π \over 2x};\)

5. Функцияның \([0; +\infty)\) аралығындағы минимумын табамыз:

\(S'(x) = 4πx – {π \over 2x^2};\)

\(S'(x) = 0;\)

\(4πx – {π \over 2x^2} = 0;\)

\(x = {1 \over 2};\)

\(x \in [0; +\infty).\)

\(x = {1 \over 2}\) S(x) функциясының минимум нүктесі болып табылады, себебі ол нүктеден өткенде туынды таңбасын « – » -тен « + »-ке ауыстырады. Осыдан \([0; +\infty)\) аралығында \(S(x) = 2πx^2 + {π \over 2x}\) функциясы х нүктесінде ең үлкен мәнді қабылдайды.

Есептің сұрағына жауабын табамыз.

\(S \Big({1 \over 2} \Big) = 2π \cdot \Big( {1 \over 2} \Big) ^2 + {π \over 2 \cdot {1 \over 2}} = 1,5π \) кв. бір.

Жауабы: \(1,5π\) кв. бір.

Қайталауға арналған материалдар:

10 сынып - Функция және оның қасиеттері – Функцияның аралықтағы ең үлкен және ең кіші мәндері.