Задание 6

Найдите наименьшую полную поверхность цилиндра, объем которого равен \({π \over 4}.\)

Решение 1.

Пусть \(x\) – радиус основания цилиндра, тогда высота – \(h = {1 \over 4x^2},\) так как объем равен \({π \over 4}.\) По условию задачи, данные элементы цилиндра неотрицательны. Составим функцию зависимости полной поверхности цилиндра от значения \(x:\) \(S(x) = 2πx^2 + {π \over 2x}.\)

Таким образом, задача сводится к нахождению такого значения \(x,\) при котором функция \(S(x)\) принимает наименьшее значение на отрезке \([0; +\infty).\)

Найдем стационарные точки функции на заданном отрезке.

\(S'(x) = 4πx – {π \over 2x^2};\)

\(S'(x) = 0;\)

\(4πx – {π \over 2x^2} = 0;\)

\(x = {1 \over 2};\)

\(x \in [0; +\infty).\)

\(x = {1 \over 2}\) является точкой минимума функции \(S(x),\) так как при переходе через нее производная меняет знак с «–» на «+». Следовательно, наибольшее значение на отрезке \([0; +\infty)\) функция \(S(x) = 2πx^2 + {π \over 2x}\) принимает в точке \(x.\)

Найдем ответ на вопрос задачи.

\(S \Big({1 \over 2} \Big) = 2π \cdot \Big( {1 \over 2} \Big) ^2 + {π \over 2 \cdot {1 \over 2}} = 1,5π \) кв. ед.

Ответ: \(1,5π\)  кв. ед.

Решение 2.

Данная задача является задачей на оптимизацию.

1. Выделим оптимизируемую величину: \(S\) – площадь полной поверхности цилиндра. Будем искать ее наименьшее значение.

2. За \(x\) примем радиус основания, тогда высота – \(h = {1 \over 4x^2},\) объем равен \({π \over 4}.\)

3. Установим область определения по условию задачи: \(x \in [0; +\infty).\)

4. Выразим оптимизируемую величину \(S\) через \(x:\)

\(S(x) = 2πx^2 + {π \over 2x};\)

5. Найдем минимум данной функции на отрезке \([0; +\infty).\)

\(S'(x) = 4πx – {π \over 2x^2};\)

\(S'(x) = 0;\)

\(4πx – {π \over 2x^2} = 0;\)

\(x = {1 \over 2};\)

\(x \in [0; +\infty).\)

\(x = {1 \over 2}\) является точкой минимума функции \(S(x),\) так как при переходе через нее производная меняет знак с «–» на «+». Следовательно, наибольшее значение на отрезке \([0; +\infty)\) функция \(S(x) = 2πx^2 + {π \over 2x}\) принимает в точке \(x.\)

Найдем ответ на вопрос задачи.

\(S \Big({1 \over 2} \Big) = 2π \cdot \Big( {1 \over 2} \Big) ^2 + {π \over 2 \cdot {1 \over 2}} = 1,5π \) кв. ед.

Ответ: \(1,5π\)  кв. ед.

Материалы для повторения:

10 класс – Функции и их свойства – Наибольшее и наименьшее значение функций на промежутке