Скачай приложение iTest
Готовься к школьным экзаменам в более удобном формате
Задание 5
Исследуйте функцию c помощью производной и постройте ее график: \(f(x) = {x^2 + 2x + 2 \over x + 1}. \)
Решение.
1. \(D(x) = (–\infty; –1) \cup (–1; +\infty),\) \(E(y) = (–\infty; –2] \cup [2; +\infty).\)
2. Функция общего вида, так как не выполняются условия:
\(y(–x) = –y(x)\) и \(y(–x) = y(x).\)
3. Функция не является периодической, так как не существует такого числа \(T,\) чтобы выполнялось условие \(y(x + T) = y(x)\) на всей области определения функции.
4. Определим точки пересечения графика исследуемой функции с осями координат.
С \(Ox:\) \(y = 0;\)
\(x^2 + 2x + 2 = 0;\)
\(x \in \varnothing\) не имеет точек пересечения с \(Ox.\)
С \(Oy:\) \(x = 0,\) то \(y = 2.\)
5. Найдем промежутки знакопостоянства.
\(y > 0\) при \(x \in (–1; +\infty);\)
\(y < 0\) при \(x \in (–\infty; –1).\)
6. Исследуем функцию на монотонность.
Найдем производную функции: \(y' = {x^2 + 2x \over (x - 1)^2}.\)
Определим критические точки: \(y' = 0\) или \(y'\) не существует.
Определим критические точки: \(y' = 0.\)
\(x = 0,\) \(x = –2.\)
|
\(x\) |
\((–\infty; –2)\) |
\(–2\) |
\((–2; –1)\) |
\((–1; 0)\) |
\(0\) |
\((0; +\infty)\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
|
Производная |
\(+\) |
\(0\) |
\(–\) |
\(–\) |
\(0\) |
\(+\) |
|
Функция |
возрастает |
\(–2\) max |
убывает |
убывает |
\(2\) min |
возрастает |
Используя исследование, выполним построение графика.
Материалы для повторения:
Во время прохождения онлайн тура мы запрещаем открывать дополнительные вкладки браузера, при повторном открытии мы аннулируем ваши результаты!
Обратитесь к организатору конкурса.
Сканируй QR код, скачивай приложение
и учись вместе с нами
1. Скачайте приложение iTest, используя QR-код или строку поиска в AppStore или Play Market
2. Авторизуйтесь в приложении и готовьтесь к экзаменам вместе с нами
