Скачай приложение iTest

Готовься к школьным экзаменам в более удобном формате

Запомнить

Восстановить пароль

Регистрация

Задание 4

Предыдущий конспект Следующий конспект

Конспект

Решите систему уравнений: \(\begin {cases} x + y = 1, \\ \cos \pi x + 1 = \cos \pi y. \end {cases}\)

Решение.

1. Используя формулу суммы функций, преобразуем второе уравнение системы.

\(\cos \pi x + 1 = \cos \pi y;\)

\(\cos \pi x - \cos \pi y = -1;\)

\(2 \sin \Big({πx + πy \over 2} \Big) \sin⁡ \Big( {πx - πy \over 2} \Big) = 1;\)

\(2 \sin \Big({π(x + y) \over 2} \Big) \sin⁡ \Big( {π(x - y) \over 2} \Big) = 1; \)

\(2 \sin \Big({π \over 2} \Big) \sin⁡ \Big( {π(x - y) \over 2} \Big) = 1; \)

\(2 \sin⁡ \Big( {π(x - y) \over 2} \Big) = 1; \)

\(\sin⁡ \Big( {π(x - y) \over 2} \Big) = {1 \over 2}.\)

Из формулы корней простейшего тригонометрического уравнения получим:

\({π(x - y) \over 2} = (-1)^n {\pi \over 6} + 2 \pi n, n \in Z;\)

\(x - y = (-1)^n {1 \over 3} + 4n, n \in Z.\)

Таким образом, система примет вид:

\(\begin {cases} x + y = 1, \\ x - y = (-1)^n {1 \over 3} + 4n, n \in Z. \end {cases}\)

Решим данную систему способом сложения.

\(\begin {cases} x = {1 \over 2} + (-1)^n {1 \over 6} + 2n, \\ y = {1 \over 2} + (-1)^{n + 1} {1 \over 6} + 2n, \end {cases} n \in Z.\)

Ответ: \(\begin {cases} x = {1 \over 2} + (-1)^n {1 \over 6} + 2n, \\ y = {1 \over 2} + (-1)^{n + 1} {1 \over 6} + 2n, \end {cases} n \in Z.\)

Материалы для повторения:

Сообщить об ошибке