Задание 3

Решите неравенство: \((x^2 - 6x + 1)^{(x + 2) \over (x - 5)} ≥ (x^2 - 6x + 1)^3.\)

Решение 1.

Рассмотрим два случая.

1. Учитывая, что \(x^2 - 6x + 1 > 1,\) перейдем к равносильному неравенству и решим его:

\({x + 2 \over x - 5} \geq 3;\)

\({x + 2 - 3x + 15 \over x - 5} ≥ 0;\)

\({-2x + 17 \over x - 5} ≥ 0;\)

\(5 < x ≤ 8,5.\)

Так как \(x^2 - 6x + 1 > 1,\) то решение \(x \in (6; 8,5].\)

2. Учитывая, что \(0 < x^2 - 6x + 1 < 1,\) перейдем к равносильному неравенству и решим его:

\({x + 2 \over x - 5} \leq 3;\)

\({x + 2 - 3x + 15 \over x - 5} \leq 0;\)

\({-2x + 17 \over x - 5} \leq 0;\)

\(\left[ \begin{array}{ccc} x \geq 8,5, \\ x < 5. \end{array} \right.\)

Так как \(0 < x^2 - 6x + 1 < 1,\) то решение \(x \in (0; 5).\)

3. Запишем ответ исходного неравенства: \(x \in (0; 5) \cup (6; 8,5].\)

Ответ: \(x \in (0; 5) \cup (6; 8,5].\)

Решение 2.

\((x^2 - 6x + 1)^{(x + 2) \over (x - 5)} ≥ (x^2 - 6x + 1)^3; \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{ccc} \begin {cases} x^2 - 6x + 1 > 1, \\ {x + 2 \over x - 5} \geq 3; \end {cases} \\ \begin {cases} 0 < x^2 - 6x + 1 < 1, \\ {x + 2 \over x - 5} \leq 3; \end {cases} \end{array} \right. \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{ccc} \begin {cases} x^2 - 6x > 0, \\ {x + 2 - 3x + 15 \over x - 5} \geq 0; \end {cases} \\ \begin {cases} x^2 - 6x < 0, \\ {x + 2 - 3x + 15 \over x - 5} \leq 0; \end {cases} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{ccc} \begin {cases} x(x - 6) > 0, \\ {-2x + 17 \over x - 5} \geq 0; \end {cases} \\ \begin {cases} x(x - 6) < 0, \\ {-2x + 17 \over x - 5} \leq 0; \end {cases} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{ccc} \begin {cases} \left[ \begin{array}{ccc} x > 6, \\ x < 0; \end{array} \right. \\ 5 < x \leq 8,5; \end {cases} \\ \begin {cases}0 < x < 6, \\ \left[ \begin{array}{ccc} x < 5, \\ x \geq 8,5; \end{array} \right. \end {cases} \end{array} \right. \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow x \in (0; 5) \cup (6; 8,5].\)

Ответ: \(x \in (0; 5) \cup (6; 8,5].\)

Материалы для повторения:

11 класс – Уравнения и неравенства, системы уравнений и неравенств – Решение иррациональных уравнений и их систем