Тапсырма 6

Радиусы R – ге тең шарға іштей көлемі ең үлкен цилиндр орналасқан. Цилиндр биіктігін табыңыз.

Шешім 1.

2х – цилиндр биіктігі болсын, онда табан радиусы – \(r = \sqrt{R^2 - x^2} .\)  Есеп шарты бойынша цилиндр элементтері теріс емес. Цилиндр көлемі х –тің мәніне тәуелді функция құраймыз: \(V(x) = 2πx(R^2 – x^2).\)

Осылайша есеп, V(x) функциясы [0; + ∞) аралығында қабылдайтын ең үлкен х-тің мәнін табуға келіп саяды.

Функцияның берілген аралықтағы стационарлық(тұрақты) нүктелерін табамыз.

\(V'(x) = 2πR^2 – 6πx^2;\)

\(V'(x) = 0;\)

\(2πR^2 – 6πx^2 = 0;\)

\(x_1 = -{R \over \sqrt3},\) \(x_2 = {R \over \sqrt3};\)

\(x_2 \in [0; +\infty).\)

\(x_2 = {R \over \sqrt3}\) V(x) функциясының максимум нүктесі болып табылады, себебі ол нүктеден өткенде туынды таңбасын «+» -тен «–»-ке ауыстырады. Осыдан [0; + ∞) аралығында \(V(x) = 2πx(R^2 – x^2)\) функциясы х\(_2\) нүктесінде ең үлкен мәнді қабылдайды.

Есептің сұрағына жауабын табамыз.

\(V \Big( {R \over \sqrt3} \Big) = 2π \cdot {R \over \sqrt3} \cdot R^2 - 2π \cdot \Big( {R \over \sqrt3} \Big)^3 = {4π\sqrt3 \over 9}\).

Жауабы: \({4π\sqrt3 \over 9}\) куб. бір.

Шешім 2.

Берілген тапсырма оңтайландыруға арналған тапсырма болып табылады.

1. Оңтайландыратын шаманы белгілейміз: V –цилиндр көлемі. Оның ең үлкен мәнін іздейміз.

2.  Биіктікті 2х деп аламыз, онда радиусы R болғандағы табан радиусы \(r = \sqrt{R^2 - x^2} \).

3. Анықталу облысын белгілейміз: х \(\in\) [0; + ∞).

4. Оңтайландырылған V шамасын х арқылы өрнектейміз:

\(V(x) = 2πx(R^2 – x^2).\)

5. Функцияның [0; + ∞) аралығындағы максимумын табамыз:

\(V'(x) = 2πR^2 – 6πx^2;\)

\(V'(x) = 0;\)

\(2πR^2 – 6πx^2 = 0;\)

\(x_1 = -{R \over \sqrt3},\) \(x_2 = {R \over \sqrt3};\)

\(x_2 \in [0; +\infty).\)

\(x_2 = {R \over \sqrt3}\) V(x) функциясының максимум нүктесі болып табылады, себебі ол нүктеден өткенде туынды таңбасын «+» -тен «–»-ке ауыстырады. Осыдан [0; + ∞) аралығында \(V(x) = 2πx(R^2 – x^2)\) функциясы х\(_2\) нүктесінде ең үлкен мәнді қабылдайды.

Есептің сұрағына жауабын табамыз.

\(V \Big( {R \over \sqrt3} \Big) = 2π \cdot {R \over \sqrt3} \cdot R^2 - 2π \cdot \Big( {R \over \sqrt3} \Big)^3 = {4π\sqrt3 \over 9}\).

Жауабы: \({4π\sqrt3 \over 9}\) куб. бір. 

Қайталауға арналған материалдар:

10 сынып - Функция және оның қасиеттері – Функцияның аралықтағы ең үлкен және ең кіші мәндері.