Задание 6

В шар радиусом \(R\) вписан цилиндр наибольшего объема. Найдите высоту цилиндра.

Решение 1.

Пусть \(2x\) – высота цилиндра, тогда радиус основания – \(r = \sqrt{R^2 - x^2} .\) По условию задачи, данные элементы цилиндра неотрицательны. Составим функцию зависимости объема цилиндра от значения \(x:\)  \(V(x) = 2πx(R^2 – x^2).\)

Таким образом, задача сводится к нахождению такого значения \(x,\) при котором функция \(V(x)\) принимает наибольшее значение на отрезке \([0; +\infty).\)

Найдем стационарные точки функции на заданном отрезке.

\(V'(x) = 2πR^2 – 6πx^2;\)

\(V'(x) = 0;\)

\(2πR^2 – 6πx^2 = 0;\)

\(x_1 = -{R \over \sqrt3},\) \(x_2 = {R \over \sqrt3};\)

\(x_2 \in [0; +\infty).\)

\(x_2 = {R \over \sqrt3}\) является точкой максимума функции \(V(x),\) так как при переходе через нее производная меняет знак с «+» на «–». Следовательно, наибольшее значение на отрезке \([0; +\infty)\) функция \(V(x) = 2πx(R^2 – x^2)\) принимает в точке \(x_2.\)

Найдем ответ на вопрос задачи.

\(V \Big( {R \over \sqrt3} \Big) = 2π \cdot {R \over \sqrt3} \cdot R^2 - 2π \cdot \Big( {R \over \sqrt3} \Big)^3 = {4π\sqrt3 \over 9}\) куб. ед.

Ответ: \({4π\sqrt3 \over 9}\) куб. ед.

Решение 2.

Данная задача является задачей на оптимизацию.

1. Выделим оптимизируемую величину: \(V\) – объем цилиндра. Будем искать ее наибольшее значение.

2. За \(2x\) примем высоту, тогда радиус основания равен \(r = \sqrt{R^2 - x^2} \) при радиусе шара \(R.\)

3. Установим область определения: \(x \in [0; +\infty).\)

4. Выразим оптимизируемую величину \(V\) через \(x:\)

\(V(x) = 2πx(R^2 – x^2).\)

5. Найдем максимум данной функции на отрезке \([0; +\infty).\)

\(V'(x) = 2πR^2 – 6πx^2;\)

\(V'(x) = 0;\)

\(2πR^2 – 6πx^2 = 0;\)

\(x_1 = -{R \over \sqrt3},\) \(x_2 = {R \over \sqrt3};\)

\(x_2 \in [0; +\infty).\)

\(x_2 = {R \over \sqrt3}\) является точкой максимума функции \(V(x),\) так как при переходе через нее производная меняет знак с «+» на «–». Следовательно, наибольшее значение на отрезке \([0; +\infty)\) функция \(V(x) = 2πx(R^2 – x^2)\) принимает в точке \(x_2.\)

Найдем ответ на вопрос задачи.

\(V \Big( {R \over \sqrt3} \Big) = 2π \cdot {R \over \sqrt3} \cdot R^2 - 2π \cdot \Big( {R \over \sqrt3} \Big)^3 = {4π\sqrt3 \over 9}\) куб. ед.

Ответ: \({4π\sqrt3 \over 9}\) куб. ед.

Материалы для повторения:

10 класс – Функции и их свойства – Наибольшее и наименьшее значение функций на промежутке