6-тапсырма

Теңдеулер жүйесін шешу: \(\begin{cases} 2\sqrt{3y + x} - \sqrt{6y - x} = x,\\ \sqrt{3y + x} + \sqrt{6y - x} = 3y. \end{cases}\)

1-шешімі.

1) Жүйенің теңдеулерін қосуды орындау арқылы \(3\sqrt{3y + x} = x + 3y \) теңдеуін аламыз.

2) Екі еселенген екінші теңдеуден бірінші теңдеуді шегеріп, \(3\sqrt{6y - x} = 6y – x\) теңдеуін аламыз.  (все переменные курсивом (ред)

3) Бастапқы теңдеулер жүйесін төмендегідей жазуға болады:

\(\begin{cases} 2\sqrt{3y + x} - (3y + x)= 0;\\ 3\sqrt{6y – x} - (6y - x) = 0.  \end{cases}\)

\(\begin{cases} \left[ \begin{array}{ccc} 3y + x = 0;\\ 3y + x = 9. \end{array} \right.\\ \left[ \begin{array}{ccc} 6y – x = 0;\\ 6y – x = 9. \end{array} \right.  \end{cases}\)

4) 4 теңдеулер жүйесінің жиынтығын аламыз:

\(\left[ \begin{array}{ccc} \begin{cases} 3y + x = 0,\\ 6y – x = 0; \end{cases}\\ \begin{cases}\ 3y + x = 9,\\ 6y - x= 0; \end{cases}\\ \begin{cases} 3y + x = 0,\\ 6y – x = 9; \end{cases}\\ \begin{cases} 3y + x = 9,\\ 6y – x = 9;  \end{cases} \end{array} \right. \left[ \begin{array}{ccc} \begin{cases} 9y = 0,\\ 3x = 0; \end{cases}\\ \begin{cases} 9y = 9,\\ 3x = 18; \end{cases}\\ \begin{cases} 9y = 9,\\ 3x = -9; \end{cases}\\ \begin{cases} 9y = 18,\\ 3x = 9; \end{cases} \end{array} \right. \left[ \begin{array}{ccc} \begin{cases} x = 0,\\ y = 0; \end{cases}\\ \begin{cases} x = 6,\\ y = 1; \end{cases}\\ \begin{cases} x = -3,\\ y = 1; \end{cases}\\ \begin{cases} x = 3,\\ y = 2. \end{cases} \end{array} \right.\)

Жауабы: (0; 0); (6; 1); (-3; 1); (3; 2).

2-шешімі.

1) Жаңа айнымалы енгіземіз:

\(\begin{cases} \sqrt{3y+x}=a,\\ \sqrt{6y-x}=b;   \end{cases} \begin{cases} 3y+x=a^2,  a≥0,\\ 6y-x=b^2,  b≥0; \end{cases} \begin{cases} x=\frac{2a^2-b^2}{3},\\ y=\frac{a^2+b^2}9. \end{cases}\)

2) Бастапқы жүйе төмендегідей түрге келеді:

\(\begin{cases} 2a - b=\frac{2a^2 - b^2}{3},\\ a + b = \frac{a^2 + b^2}{9},\\ a ≥ 0,   b ≥ 0; \end{cases} \begin{cases} 6a - 3b=2a^2- b^2,\\ 9(a + b) = a^2 + b^2,\\ a ≥ 0,   b ≥ 0;    \end{cases} \begin{cases} 6a - 3b = 2a^2 - b^2,\\ 9a = 3a^2,\\ a ≥ 0,   b ≥ 0; \end{cases}\)

\(\begin{cases} \left[ \begin{array}{ccc} a = 0,\\ 3b = b^2; \end{array} \right.\\ \left[ \begin{array}{ccc} a = 3,\\ 18 - 3b = 18 - b^2;  \end{array} \right. \end{cases} \left[ \begin{array}{ccc} \begin{cases} a=0,\\ b= 0; \end{cases}\\ \begin{cases} a=0,\\ b=3; \end{cases}\\ \begin{cases} a=3,\\ b=0; \end{cases}\\ \begin{cases} a=3,\\ b=3. \end{cases} \end{array} \right.\)

3) Табылған жаңа айнымалылардың мәндерін бастапқы берілген  жүйеге қойып, келесі жиынтықты аламыз:

\(\left[ \begin{array}{ccc} \begin{cases} x=0,\\ y=0; \end{cases}\\ \begin{cases} x=-3,\\ y=1; \end{cases}\\ \begin{cases} x=6,\\ y=1; \end{cases}\\ \begin{cases} x=3,\\ y=2.  \end{cases} \end{array} \right.\)

Жауабы: (0; 0); (-3; 1); (6; 1); (3; 2).