Задание 6

Решить систему уравнений: \(\left\{\begin{matrix} 2\sqrt{3y + x} - \sqrt{6y - x} = x, \\ \sqrt{3y + x} +\sqrt{6y - x} = 3y. \end{matrix}\right.\)

Решение 1.

1) Выполним сложение уравнений системы, получим \(3\sqrt{3y + x} = x + 3y.\)

2) Вычтем из удвоенного второго уравнения первое, получим \(3\sqrt{6y - x} = 6y - x.\)

3) Исходную систему уравнений можно записать так:

\(\left\{\begin{matrix} 2\sqrt{3y + x} - (3y + x)= 0, \\ 3\sqrt{6y - x} - (6y - x) = 0. \end{matrix}\right.\)

\(\left\{\begin{matrix} \left[\begin{matrix} 3y + x = 0,\\ 3y + x = 9; \end{matrix}\right. \\ \left[\begin{matrix} 6y - x = 0,\\ 6y - x = 9.  \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.\)

4) Получим совокупность 4-х систем уравнений:

\(\left[\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} 3y + x = 0, \\ 6y – x = 0; \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} 3y + x = 9, \\ 6y - x= 0; \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} 3y + x = 0, \\ 6y – x = 9; \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} 3y + x = 9, \\ 6y – x = 9;    \end{matrix}\right. \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} 9y = 0, \\ 3x = 0; \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} 9y = 9, \\ 3x = 18; \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} 9y = 9,\\ 3x = -9; \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} 9y = 18,\\ 3x = 9;    \end{matrix}\right. \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} x = 0,\\ y = 0; \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} x = 6, \\ y = 1;\end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} x = -3, \\ y = 1; \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} x = 3, \\ y = 2.    \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.\)

Ответ: \((0; 0);\) \((6; 1);\) \((-3; 1);\) \((3; 2).\)

Решение 2.

1) Введем новые переменные:

\(\left\{\begin{matrix} \sqrt{3y+x}=a, \\ \sqrt{6y-x}=b; \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3y+x=a^2, \, a≥0, \\ 6y-x=b^2, \, b≥0; \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{2a^2-b^2}{3}, \\ y=\frac{a^2+b^2}{9}. \end{matrix}\right.\)  

2) Исходная система примет следующий вид:

\(\left\{\begin{matrix} 2a - b=\frac{2a^2 - b^2}{3}, \\ a + b = \frac{a^2 + b^2}{9}, \\ a ≥ 0, \, b ≥ 0; \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 6a - 3b=2a^2- b^2, \\ 9(a + b) = a^2 + b^2, \\ a ≥ 0, \,  b ≥ 0; \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 6a - 3b = 2a^2 - b^2, \\ 9a = 3a^2, \\ a ≥ 0,   \, b ≥ 0; \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left[\begin{matrix} a = 0, \\ 3b = b^2; \end{matrix}\right. \\ \left[\begin{matrix} a = 3, \\ 18 - 3b = 18 - b^2; \end{matrix}\right. \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} a=0, \\ b= 0; \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} a=0, \\ b=3; \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} a=3, \\ b=0; \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} a=3, \\ b=3.  \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.\)        

3) Возвращаясь к исходной системе, получим:

\(\left[\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} x=0, \\ y=0; \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} x=-3, \\ y=1; \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} x=6, \\ y=1; \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} x=3, \\ y=2.   \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.\)

Ответ: \((0; 0);\) \((6; 1);\) \((-3; 1);\) \((3; 2).\)

Материалы для повторения:

9 класс - Алгебра. Уравнения, неравенства и их системы - Нелинейные уравнения с двумя переменными и их система