+7 (727) 344 95 95
Сдать пробный ЕНТ
Русский

Скачай приложение iTest

Готовься к школьным экзаменам в более удобном формате

logo-device logotype logotype-float

Задание 5
Предыдущий конспект Следующий конспект
Конспект

Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции \(y = \int_{x^2}^{x^2 + 1}tdt\) и прямой \(y = 1,5.\)

Решение.

1) Вычислим интеграл:

\(\int\limits_{x^2}^{x^2 + 1}tdt=\frac{t^2}{2}\bigg|^{x^2 + 1}_{x_2}=\frac{(x^2 + 1)^2}{2} - \frac{x^2}{2} =\frac{x^4 + x^2 + 1}{2} = \\ = \frac{1}{2}(x^2 + 1 - x)(x^2 + 1 + x).  \)

2) Найдем точки пересечения графиков функций \(y=\frac{x^4 +x^2 + 1}{2}\) и \(y = 1,5,\) для этого решим уравнение:

\(\frac{x^4 + x^2 +1}{2}=1,5;\)

\(x^4 + x^2 + 1 = 3;\)

\(x^4 + x^2 - 2 = 0, \)

 \((x^2)^2 + x^2 - 2 = 0\)  – биквадратное уравнение.

По свойству коэффициентов уравнения \(1 + 1 - 2 = 0\) получим:

\(x^2 = 1\) или \(x^2 = -2;\)

\(x^2 = 1;\)

\(x_1 = -1,\) \(x_2 = 1. \)

3) Построим схематично графики функций \(y=\frac{x^4 + x^2 + 1}{2}\) и \(y = 1,5\) на отрезке \([-2;  2].\)

4) Найдем площадь фигуры, ограниченной графиками функций с использованием формулы Ньютона-Лейбница: \(\int\limits_a^bf(x)dx = F(b) - F(a).\)

\(S = 2 \cdot \int\limits_0^1\Big(1,5 - \frac{x^4 + x^2 + 1}{2}\Big)dx = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int\limits_0^1(2 - x^4 - x^2)dx = \)

\(\Big(2x - \frac{x^5}{5} - \frac{x^3}{3}\Big)\bigg|^1_0=2 - \frac{1}{5} – \frac{1}{3} = 1\frac{7}{15}\) кв. ед.

Ответ: \(1\frac{7}{15} \) кв. ед.

Материалы для повторения:

11 класс – Первообразная и интеграл – Площадь криволинейной трапеции



Сообщить об ошибке