5-тапсырма

Теңдеулер жүйесін шешіңіз: \(\begin {cases} \sqrt3^{x - y} = \left( {1 \over 3} \right)^{x - 2y}, \\ \log_2(x + y) + \log_2(x - y) = 4. \end {cases}\)

1-шешімі.

\(\begin {cases} \sqrt3^{x - y} = \left( {1 \over 3} \right)^{x - 2y}, \\ \log_2(x + y) + \log_2(x - y) = 4; \end {cases} \Leftrightarrow \begin {cases} x + y > 0, \\ x - y > 0, \\ 0,5(x - y) = 2y - x, \\ (x + y)(x - y) = 16; \end {cases} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \begin {cases} x + y > 0, \\ x - y > 0, \\ 1,5x = 2,5y, \\ (x + y)(x - y) = 16; \end {cases} \Leftrightarrow \begin {cases} x + y > 0, \\ x - y > 0, \\ y = 0,6x, \\ 1,6x \cdot 0,4y = 16; \end {cases} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \begin {cases} x + y > 0, \\ x - y > 0, \\ y = 0,6x, \\ x^2 = 25; \end {cases} \Leftrightarrow \begin {cases} x + y > 0, \\ x - y > 0, \\ y = 0,6x, \\ \left[ \begin{array}{ccc} x_1 = -5, \\ x_2 = 5; \end{array} \right. \end {cases} \Leftrightarrow \begin {cases} x + y > 0, \\ x - y > 0, \\ \left[ \begin{array}{ccc} \begin {cases} x_1 = -5, \\ y_1 = -3; \end {cases} \\ \begin {cases} x_2 = 5, \\ y_2 = 3; \end {cases} \end{array} \right. \end {cases} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \begin {cases} x = 5, \\ y = 3. \end {cases}\)

Жауабы: \((5; 3).\)

2-шешімі.

1. \(x + y > 0\) және \(x – y > 0\) болатынын ескере отырып екінші теңдеу жүйесін мәндес түрге келтіреміз.

\(\log_2(x + y) + \log_2(x - y) = 4  \)

\(\log_2((x + y)(x - y)) = 4  \)

\(x^2 - y^2 = 16.\)

2. Бірінші теңдеудің екі бөлігін \(3\) негізінде логарифмдеп, мәндес теңдеуге келтіреміз.

\(\sqrt3 ^{x - y} = \left( {1 \over 3} \right)^{x - 2y}  \)

\(\log_3\sqrt3^{x - y} = \log_3 \left( {1 \over 3} \right) ^{x - 2y}  \)

\(0,5(x - y) = 2y - x  \)

\(1,5x = 2,5y\)  

\(y = 0,6x  \)

3. \(0,6x\) өрнегін  \(x^2 - y^2 = 16\) теңдеуіндегі у айнымалысының орнына  қойып квадраттық теңдеуді аламыз және шешеміз.

\(x^2 = 25;  \)

\(\left[ \begin{array}{ccc} x_1 = -5, \\ x_2 = 5. \end{array} \right.\)

4. Екінші айнымалының сәйкес мәндерін табамыз:

\(y_1 = -3\) және \(y_2 = 3.\)

\(x + y > 0\) және \(x – y > 0\) болатынын ескере отырып жауабын жазамыз.

Жауабы: \((5; 3).\)

Қайталауға арналған материалдар:

11-сынып – Көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулер –  Көрсеткіштік теңдеу мен теңдеулер жүйесін шешудің әдістері

11-сынып – Көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулер –  Логарифмдік теңдеулер мен теңсіздіктерді шешудің әдістері