Задание 5

Решите систему уравнений: \(\begin {cases} \sqrt3^{x - y} = \left( {1 \over 3} \right)^{x - 2y}, \\ \log_2(x + y) + \log_2(x - y) = 4. \end {cases}\)

Решение 1.

\(\begin {cases} \sqrt3^{x - y} = \left( {1 \over 3} \right)^{x - 2y}, \\ \log_2(x + y) + \log_2(x - y) = 4; \end {cases} \Leftrightarrow \begin {cases} x + y > 0, \\ x - y > 0, \\ 0,5(x - y) = 2y - x, \\ (x + y)(x - y) = 16; \end {cases} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \begin {cases} x + y > 0, \\ x - y > 0, \\ 1,5x = 2,5y, \\ (x + y)(x - y) = 16; \end {cases} \Leftrightarrow \begin {cases} x + y > 0, \\ x - y > 0, \\ y = 0,6x, \\ 1,6x \cdot 0,4y = 16; \end {cases} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \begin {cases} x + y > 0, \\ x - y > 0, \\ y = 0,6x, \\ x^2 = 25; \end {cases} \Leftrightarrow \begin {cases} x + y > 0, \\ x - y > 0, \\ y = 0,6x, \\ \left[ \begin{array}{ccc} x_1 = -5, \\ x_2 = 5; \end{array} \right. \end {cases} \Leftrightarrow \begin {cases} x + y > 0, \\ x - y > 0, \\ \left[ \begin{array}{ccc} \begin {cases} x_1 = -5, \\ y_1 = -3; \end {cases} \\ \begin {cases} x_2 = 5, \\ y_2 = 3; \end {cases} \end{array} \right. \end {cases} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \begin {cases} x = 5, \\ y = 3. \end {cases}\)

Ответ: \((5; 3).\)

Решение 2.

1. Учитывая \(x + y > 0\) и \(x – y > 0,\) приведем второе уравнение системы к равносильному.

\(\log_2(x + y) + \log_2(x - y) = 4;\)

\(\log_2((x + y)(x - y)) = 4;\)

\(x^2 - y^2 = 16.\)

2. Прологарифмировав обе части первого уравнения по основанию \(3,\) приведем его к равносильному.

\(\sqrt3 ^{x - y} = \left( {1 \over 3} \right)^{x - 2y};\)

\(\log_3\sqrt3^{x - y} = \log_3 \left( {1 \over 3} \right) ^{x - 2y};\)

\(0,5(x - y) = 2y - x;\)

\(1,5x = 2,5y;\)  

\(y = 0,6x.\)

3. Подставив выражение \(0,6x\) вместо переменной \(y\) в уравнение \(x^2 - y^2 = 16,\) получим и решим квадратное уравнение.

\(x^2 = 25;  \)

\(\left[ \begin{array}{ccc} x_1 = -5, \\ x_2 = 5. \end{array} \right.\)

4. Найдем соответствующие значения второй переменной:

\(y_1 = -3\) и \(y_2 = 3.\)

Запишем ответ, учитывая \(x + y > 0\) и \(x – y > 0.\)

Ответ: \((5; 3).\)

Материалы для повторения:

11 класс – Показательные и логарифмические уравнения – Показательные уравнения и их системы

11 класс – Показательные и логарифмические уравнения – Логарифмические уравнения и их системы