Тапсырма 6

Радиусы R –ге тең шарға іштей көлемі ең үлкен конус орналасқан. Конус биіктігін табыңыз.

Шешім 1.

\(OO_1 = x\) –  биіктіктің бір бөлігі болсын, онда конус биіктігі – \(SO_1 = R + x,\) табан радиусы – \(r = \sqrt{R^2 - x^2}.\) Есеп шарты бойынша конус элементтері теріс емес және шар диаметрінен аспайды Конус көлемі х – тің мәніне тәуелді функция құраймыз: \(V(x) = {1 \over 3} π(R^2 – x^2)(R + x).\)

Осылайша есеп, V(x) функциясы [0; 2R] аралығында қабылдайтын ең үлкен х-тің мәнін табуға келіп саяды.

Функцияның берілген аралықтағы стационарлық(тұрақты) нүктелерін табамыз.

\(V'(x) = {1 \over 3} π (R^2 – 2Rx – 3x^2);\)

\(V'(x) = 0;\)

\({1 \over 3} π (R^2 – 2Rx – 3x^2) = 0;\)

\(x_1 = -R,\) \( x_2 = {R \over 3};\)

\(x_2 \in [0; 2R].\)

\(x_2 = {R \over 3}\) V(x) функциясының максимум нүктесі болып табылады, себебі ол нүктеден өткенде туынды таңбасын «+» -тен «–»-ке ауыстырады. Осыдан [0; 2R] аралығында \(V(x) = {1 \over 3} π(R^2 – 2Rx-3x^2)\)функциясы х\(_2\) нүктесінде ең үлкен мәнді қабылдайды.

Есептің сұрағына жауабын табамыз.

\(SO_1 = R + x = {4 \over 3}R.\)

Жауабы: \({4 \over 3}R \) – конус биіктігі.

Шешім 2.

Берілген тапсырма оңтайландыруға арналған тапсырма болып табылады.

1. Оңтайландыратын шаманы белгілейміз: V –конус көлемі. Оның ең үлкен мәнін іздейміз.

2. Биіктік бөлігі –  \(OO_1 = x,\) онда конус биіктігі – \(SO_1 = R + x,\) табан радиусы  – \(r = \sqrt{R^2 - x^2}.\)

3. Есеп шарты бойынша анықталу облысын белгілейміз: х \(\in\) [0; 2R].

4. Оңтайландырылған V шамасын х арқылы өрнектейміз:

\(V(x) = {1 \over 3} π(R^2 – x^2)(R + x).\)

5. Функцияның [0; 2R] аралығындағы максимумын табамыз:

\(V'(x) = {1 \over 3} π (R^2 – 2Rx – 3x^2);\)

\(V'(x) = 0;\)

\(R^2 – 2Rx – 3x^2 = 0;\)

\(x_1 = -R,\) \( x_2 = {R \over 3};\)

\(x_2 \in [0; 2R].\)

\(x_2 = {R \over 3}\) V(x)  функциясының максимум нүктесі болып табылады, себебі ол нүктеден өткенде туынды таңбасын «+» -тен «–»-ке ауыстырады. Осыдан [0; 2R] аралығында \(V(x) = {1 \over 3} π(R^2 – 2Rx-3x^2)\) 

функциясы х\(_2\) нүктесінде ең үлкен мәнді қабылдайды.

Есептің сұрағына жауабын табамыз.

\(SO_1 = R + x = {4 \over 3}R.\)

Жауабы: \(\frac43R\) – конус биіктігі.

Қайталауға арналған материалдар:

10 сынып - Функция және оның қасиеттері – Функцияның аралықтағы ең үлкен және ең кіші мәндері.