Задание 6

В шар с радиусом \(R\) вписан конус наибольшего объема. Найдите высоту конуса.

Решение 1.

Пусть \(OO_1 = x\) – часть высоты, тогда высота конуса – \(SO_1 = R + x,\) радиус основания – \(r = \sqrt{R^2 - x^2}.\) По условию задачи, данные элементы конуса неотрицательны и не превышают диаметр шара. Составим функцию зависимости объема конуса от значения \(x:\) \(V(x) = {1 \over 3} π(R^2 – x^2)(R + x).\)

Таким образом, задача сводится к нахождению такого значения \(x,\) при котором функция \(V(x)\) принимает наибольшее значение на отрезке \([0; 2R].\)

Найдем стационарные точки функции на заданном отрезке.

\(V'(x) = {1 \over 3} π (R^2 – 2Rx – 3x^2);\)

\(V'(x) = 0;\)

\({1 \over 3} π (R^2 – 2Rx – 3x^2) = 0;\)

\(x_1 = -R,\) \( x_2 = {R \over 3};\)

\(x_2 \in [0; 2R].\)

\(x_2 = {R \over 3}\) является точкой максимума функции \(V(x),\) так как при переходе через нее производная меняет знак с «+» на «–». Следовательно, наибольшее значение на отрезке \([0; 2R]\) функция \(V(x) = {1 \over 3} π(R^2 – x^2)(R + x)\) принимает в точке \(x_2.\)

Найдем ответ на вопрос задачи.

\(SO_1 = R + x = {4 \over 3}R.\)

Ответ:  \({4 \over 3}R \)  – высота конуса.

Решение 2.

Данная задача является задачей на оптимизацию.

1. Выделим оптимизируемую величину: \(V\) – объем конуса. Будем искать ее наибольшее значение.

2. Часть высоты – \(OO_1 = x,\) тогда высота конуса – \(SO_1 = R + x,\) радиус основания – \(r = \sqrt{R^2 - x^2}.\)

3. Установим область определения по условию задачи: \(x \in [0; 2R].\)

4. Выразим оптимизируемую величину \(V\) через \(x:\)

\(V(x) = {1 \over 3} π(R^2 – x^2)(R + x).\)

5. Найдем максимум данной функции на отрезке \([0; 2R].\)

\(V'(x) = {1 \over 3} π (R^2 – 2Rx – 3x^2);\)

\(V'(x) = 0;\)

\(R^2 – 2Rx – 3x^2 = 0;\)

\(x_1 = -R,\) \( x_2 = {R \over 3};\)

\(x_2 \in [0; 2R].\)

\(x_2 = {R \over 3}\) является точкой максимума функции \(V(x),\) так как при переходе через нее производная меняет знак с «+» на «–». Следовательно, наибольшее значение на отрезке \([0; 2R]\) функция \(V(x) = {1 \over 3} π(R^2 – x^2)(R + x)\) принимает в точке \(x_2.\)

Найдем ответ на вопрос задачи.

\(SO_1 = R + x = {4 \over 3}R.\)

Ответ:  \({4 \over 3}R \)  – высота конуса.

Материалы для повторения:

10 класс – Функции и их свойства – Наибольшее и наименьшее значение функций на промежутке