Уравнения, приводимые к квадратным

Есть несколько классов уравнений, которые решаются приведением их к квадратным уравнениям. При решении уравнений, сводящихся к квадратным, чаще всего применяют один и тот же прием – введение новой переменной. Отличаются лишь выражения, которые заменяют на новую переменную.

Рассмотрим, как решать уравнения, приводимые к квадратным, на конкретных примерах.

Пример 1. Решить уравнение: \((x^2+2x)^2-7(x^2+2x)-8=0\).

Решение: ОДЗ: \(x\in R\).

Подстановка \(x^2+2x=t\) приводит исходное уравнение к квадратному относительно переменной t: \(t^2-7t-8=0\).

По теореме Виета: \(\begin{cases} t_1+t_2=7 \\ t_1\cdot t_2=-8\\ \end{cases} \Rightarrow t_1=-1; \ t_2=8\)

Обратная замена: \(\begin{cases} x^2+2x=-1\\ x^2+2x=8\\ \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x^2+2x+1=0\\ x^2+2x-8=0\\ \end{cases} \Rightarrow \)

\(1) \ x^2+2x+1=0 \\(x+1)^2=0 \Rightarrow x=-1 \\2) \ x^2+2x-8=0 \\D=b^2-4ac=2^2-4\cdot1\cdot (-8)=36 \\x_1=\frac{-2+6}2=2 \\x_2=\frac{-2-6}2=-4 \)

Ответ: –4; –1; 2.

Один вид уравнений, приводимых к квадратным – биквадратные уравнения.

Биквадратные уравнения – это уравнения вида \(ax^4 + bx^2 + c = 0, где\ a≠0\).

Биквадратные уравнения решаются с помощью подстановки \(x^2 =t\). После такой подстановки получим квадратное уравнение относительно t: \(at^2+bt+c=0\).

Биквадратное уравнение может иметь 4, 3, 2 корня, 1 корень либо не иметь корней. Рассмотрим решение биквадратных уравнений на конкретных примерах.

Пример 2. Решить уравнение: \(4x^4-5x^2+1=0\).

Решение: Пусть \(x^2=t, \ t \ge0\),

тогда \(4t^2-5t+1=0\).

Получили квадратное уравнение.

\(D=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot4\cdot1=9=3^2 \\t_1=\frac{5+3}{2\cdot4}=1 \\t_2=\frac{5-3}{2\cdot4}=\frac14\)

Оба корня удовлетворяют условию \(t≥0\).

Возвращаемся к исходной переменной: \(x^2=1; \ x^2=\frac14\).

Решаем неполные квадратные уравнения, и получаем корни:

\(x_1=1; \ x_2=-1; \ x_3=\frac12; \ x_4=-\frac12\).

Ответ: \(\pm1; \ \pm\frac12\).