Квадратный трехчлен. Корень квадратного трехчлена

Квадратным трехчленом называется многочлен вида \(ax^2 + bx + c\), где \(x\) – переменная, \(a, b, c\) – некоторые числа, причем \(a ≠ 0\).

Числа \(a,b,c\) называются коэффициентами. Число \(a\) называется старшим коэффициентом, число \(b\) – коэффициентом при \(x\), а число \(c\) называют свободным членом.

Корнем квадратного трехчлена \(ax^2 +bx+c\) называют любое значение переменной \(x\), такое, что квадратный трехчлен \(ax^2 +bx+c\) обращается в нуль.

Для того чтобы найти корни квадратного трехчлена, необходимо решить квадратное уравнение вида \(ax^2 +bx+c =0\).

Нахождение корней квадратного трехчлена

1 способ. Нахождение корней квадратного трехчлена по формуле.

1. Найти значение дискриминанта по формуле \(D =b^2-4ac\).
2. В зависимости от значения дискриминанта вычислить корни по формулам:

a) если \(D>0\), то квадратный трехчлен имеет два корня: \(x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}; x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a};\) 

b) если \(D=0\), то квадратный трехчлен имеет один корень: \(x=-\frac{b}{2a};\) 

c) если \(D<0\), то квадратный трехчлен не имеет корней.

2 способ. Нахождение корней квадратного трехчлена выделением полного квадрата.

Рассмотрим на примере приведенного квадратного трехчлена. Приведенное квадратное уравнение – уравнение, у которого на старший коэффициент равен единице.

Найдем корни квадратного трехчлена \(x^2-4x-60\). Для этого решим следующее квадратное уравнение: \(x^2-4x-60=0\).

Выделим полный квадрат из трехчлена, стоящего в левой части уравнения:

\((x^2-2\cdot x\cdot2+2^2)-2^2-60=0 \\(x-2)^2-64=0 \\(x-2)^2-8^2=0.\)

Левую часть уравнения разложим на множители по формуле разности квадратов:

\((x-2-8)(x-2+8)=0 \\(x-10)(x+6)=0.\)

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем к нулю каждый из множителей:

\(x-10=0;\ x+6=0 \\x=10;\ x=-6\)

Ответ: –6; 10.