+7 (727) 344 95 95
Сдать пробный ЕНТ
Русский

Скачай приложение iTest

Готовься к школьным экзаменам в более удобном формате

logo-device logotype logotype-float

Теорема Виета. Теорема, обратная теореме Виета
Предыдущий конспект Следующий конспект
Конспект

Теорема Виета называется по имени знаменитого французского математика Франсуа Виета. Используя теорему Виета, можно выразить сумму и произведение корней произвольного квадратного уравнения через его коэффициенты.

Теорема: Сумма корней приведенного квадратного уравнения \(x^2+px+q=0\) равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену: \(x_1+x_2=-p; \ x_1 \cdot x_2=q\).

В случае неприведенного квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\): \(x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}; \ x_1+x_2=-\frac{b}{a}\).

Обратная теорема: Если числа \(x_1\ и\ x_2\) удовлетворяют соотношениям \(x_1+x_2=-p; \ x_1 \cdot x_2=q\), то они удовлетворяют квадратному уравнению \(x^2+px+q=0\), то есть являются его корнями.

Пример. Найдите значения выражения \(\frac1{x_1}+\frac1{x_2}\), где \(x_1\ и \ x_2\) – корни уравнения \(3x^2-8x-1=0\).

Запишем теорему Виета для этого уравнения: \(\begin{cases} x_1+x_2=\frac83\\ x_1\cdot x_2=-\frac13 \\ \end{cases}\)

Теперь мы знаем, чему равны сумма и произведение корней. Представим выражение \(\frac1{x_1}+\frac1{x_2}\) в виде комбинации суммы и произведения. Приведем дроби к общему знаменателю:

\(\begin{aligned} \frac1{x_1}+\frac1{x_2}=\frac{x_2+x_1}{x_1\cdot x_2}=\frac{\frac83}{-\frac13}=\frac83\cdot (-\frac31)=-8 \end{aligned}\).

Ответ: –8.



Вопросы

  1. Найдите сумму корней уравнения.

    \(3x^2 – 5x –2 = 0\)

  2. Решите уравнение.

    \(x^2– x – 56 = 0\)

  3. Найдите квадратное уравнение, корнями которого являются числа \(-\sqrt3 \ и \ \sqrt{12}\).

  4. Первый корень уравнения \(x^2-13x+q=0\) равен 12,5. Найдите второй корень и значение \(q\).

  5. Найдите значение \(q\), если разность корней уравнения \(x^2-12x+q=0\) равна 2.

  6. Найдите значение выражения \(x_1+x_2+x_1\cdot x_2\), где \(x_1\ и\ x_2\)– корни уравнения \(2x^2+5x-3=0\).

  7. При каких значениях \(a \ и\ b\) корнями уравнения \(ax^2 + bx + 3 = 0\) будут 1 и –3?

  8. Найдите сумму кубов корней уравнения.

    \(x^2 + 3x – 15 = 0\)

  9. Сумма корней уравнения \(7x^2+3x-4 = 0\) равна

  10. Найдите произведение корней квадратного уравнения.

    \(3x^2+8x-21=0\)

  11. Не вычисляя корней х\(_1\) и х\(_2\) уравнения 2х\(^2\) + 5х + 3 = 0, найдите x\(_1\)+ x\(_2\)+ x\(_1\)· x\(_2\).

  12. Не вычисляя корней х\(_1\)и х\(_2\) уравнения 2х\(^2\) + 5х – 3 = 0, найдите: x\(_1^2\) + x\(_2^2\).

  13. Не вычисляя корней х\(_1\)и х\(_2\) уравнения 2х\(^2\) + 5х – 3 = 0, найдите x\(_1^3\) + x\(_2^3\).

Сообщить об ошибке