Рациональные уравнения. Посторонний корень

Рациональные уравнения – это уравнения, в которых и левая и правая части – рациональные выражения. Рациональное уравнение называется целым, или алгебраическим, если в нем нет деления на выражение, содержащее переменную. Решением, или корнем уравнения, называется всякое значение неизвестного х, при подстановке которого в обе части уравнения получается истинное числовое равенство. Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

Если в результате преобразований мы заменим исходное уравнение следствием, то при решении нового уравнения мы можем получить корни, не являющиеся корнями исходного уравнения, т. е. посторонние корни. Однако, это не страшно, так как от посторонних корней, как правило, можно легко избавиться с помощью проверки.

Дробно-рациональные уравнения

Если в рациональном уравнении есть деление на выражение, содержащее переменную, то уравнение называется дробно-рациональным.

Решение дробно-рационального уравнения сводится в конечном итоге к замене исходного уравнения целым уравнением, которое равносильно исходному уравнению или является его следствием.

При решении дробного уравнения целесообразно поступать следующим образом:

1. определить область допустимых значений переменной х (ОДЗ);
2. найти наименьший общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
3. умножить обе части уравнения на общий знаменатель и привести подобные;
4. решить получившееся целое уравнение.

Пример. Ре­шить урав­не­ние: \(\frac{x}{x-2}-\frac{7}{x+2}=\frac8{x^2-4}\). 

Ре­ше­ние: В самом на­ча­ле пе­ре­не­сем все сла­га­е­мые в левую сто­ро­ну, чтобы спра­ва остал­ся 0. По­лу­ча­ем:

\(\frac{x}{x-2}-\frac{7}{x+2}-\frac8{x^2-4}=0\).

Те­перь при­ве­дем левую часть урав­не­ния к об­ще­му зна­ме­на­те­лю:

\(\begin{aligned} &\frac{x}{x-2}-\frac{7}{x+2}-\frac8{(x-2)(x+2)}=0 \\[6pt] &\frac{x(x+2)-7(x-2)-8}{(x-2)(x+2)}=0 \\[6pt] &\frac{x^2+2x-7x+14-8}{(x-2)(x+2)}=0 \\[6pt] &\frac{x^2-5x+6}{(x-2)(x+2)}=0. \end{aligned}\)

Дан­ное урав­не­ние эк­ви­ва­лент­но си­сте­ме: \(\begin{cases} x^2-5x+6=0\\ (x-2)(x+2)\ne0 \\ \end{cases}\)

Пер­вое урав­не­ние си­сте­мы – это квад­рат­ное урав­не­ние.

Вы­чис­ля­ем дис­кри­ми­нант: \(D=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1=1^2\).

Далее, по фор­му­ле кор­ней квад­рат­но­го урав­не­ния на­хо­дим:

\(x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-(-5)+1}{2}=3; \\x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-(-5)-1}{2}=2.\)

Те­перь решим вто­рое нера­вен­ство: про­из­ве­де­ние мно­жи­те­лей не равно 0 тогда и толь­ко тогда, когда ни один из мно­жи­те­лей не равен 0.

Необ­хо­ди­мо, чтобы вы­пол­ня­лись два усло­вия: \(\begin{cases} x-2\ne0\\ x+2\ne0 \\ \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x\ne2\\ x\ne-2 \\ \end{cases} \)

По­лу­ча­ем, что из двух кор­ней пер­во­го урав­не­ния под­хо­дит толь­ко один – 3.

Ответ: \(x=3\).