+7 (727) 344 95 95
Сдать пробный ЕНТ
Русский

Скачай приложение iTest

Готовься к школьным экзаменам в более удобном формате

logo-device logotype logotype-float

Формулы корней квадратного уравнения. Дискриминант
Предыдущий конспект Следующий конспект
Конспект

Квадратным уравнением называется уравнение вида \(ax^2+bx+c=0\), где \(a\ne0\),

\(a\) – коэффициент при \(x^2\), или старший коэффициент;

\(b\) – коэффициент при \(x\), или второй коэффициент;

\(c\) – свободный член.

Найдем решение полного квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\).

Дискриминантом квадратного уравнения \(D\) называется выражение \(b^2 - 4ac\).

При решении уравнения с помощью дискриминанта возможны три случая:

  1. \(D>0\). Тогда корни уравнения равны: \(x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}; \ x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\).
  2. \(D=0\). В данном случае решение дает два двукратных корня: \(x_1=x_2=-\frac{b}{2a}\).
  3. \(D<0\). В этом случае уравнение не имеет решения.

Пример 1. Решить уравнение: \(x^2-70x+600=0\).

Решение:

\(a=1, \ b=-70, \ c=600 \\D=b^2-4ac=(-70)^2-4\cdot1\cdot600=2500 \\x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-(-70)+\sqrt{2500}}{2\cdot1}=\frac{120}2=60 \\x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-(-70)-\sqrt{2500}}{2\cdot1}=\frac{20}2=10.\)

Полезные свойства коэффициентов

  • Если для коэффициентов квадратного уравнения \(ax^2+bx+c=0\) выполняется равенство \(a+b+c=0\), то \(x_1=1, x_2=\frac{c}{a}\).
  • Если для коэффициентов квадратного уравнения \(ax^2+bx+c=0\) выполняется равенство \(a+c=b\), то \(x_1=-1, x_2=-\frac{c}{a}\).
  • Если коэффициент \(b\) квадратного уравнения – четное число, то есть его можно записать как \(b=2m\), или \(m=\frac{b}2\), то для нахождения корней квадратного уравнения удобно пользоваться формулами для четного второго коэффициента: \(\begin{aligned} \frac{D}4=m^2-ac; \ x_{1/2}=\frac{-m\pm\sqrt\frac{D}{4}}{m} \end{aligned}\).


Вопросы

  1. Решите уравнение.

    \(\sqrt{1-x^2}=2\)

  2. Решите уравнение.

    \(10x^2-x+1=0\)

  3. Решите уравнение.

    \((x^2+x-6)\sqrt{\frac{x-3}{x+1}}=0\)

  4. При каком значении \(b\) уравнение \(4x^2+2x-b=0\) имеет один корень?

  5. Решите уравнение.

    \(2x^2-7x+5=0\)

  6. Решите уравнение.

    \(\frac{5x^2+9}6-\frac{4x^2-9}5=3\)

  7. Решите уравнение.

    \((4-3x)^2=25\)

  8. Найдите сумму всех корней уравнения.

    \(2x^4-7x^2+2 = 0\)

  9. Найдите корни уравнения.

    \(5x^2 -36x = -7\)

  10. Решите уравнение.

    \(y^2-9y+18=0\)

Сообщить об ошибке