+7 (727) 344 95 95
Сдать пробный ЕНТ
Русский

Скачай приложение iTest

Готовься к школьным экзаменам в более удобном формате

logo-device logotype logotype-float

Функции вида y = x², y = x³ и их свойства
Предыдущий конспект Следующий конспект
Конспект

Функция вида у = х2 называется квадратичной, графиком функции является парабола с вершиной в точке (0; 0), ветви параболы направлены вверх, график симметричен относительно оси ординат.

Построим график функции y = x2. Составим таблицу соответственных значений x и y:

х

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

у

16

9

4

1

0

1

4

9

16

Свойства функции y = x2

  • График функции неограниченно продолжается вверх справа и слева от оси y.
  • Если x = 0, то y = 0. То есть график функции проходит через начало координат.
  • Если x ≠ 0, то y > 0. Так как квадрат любого числа, отличного от нуля, положителен, то все точки графика кроме (0; 0), расположены выше оси x.
  • Противоположным значениям x соответствует одно и то же значение y. Это следует из того, что (–x)2 = x2 для любого значения x. Значит, точки графика, имеющие противоположные абсциссы, симметричны относительно оси y.
  • Функция убывает на промежутке (–\(\infty\); 0] и возрастает на промежутке [0; +\(\infty\)).
  • Минимального значения квадратичная функция достигает в своей вершине: Ymin при x = 0. Следует также заметить, что максимального значения у функции не существует.

Функция вида у = х3 называется кубической, графиком функции является кубическая парабола с вершиной в точке (0; 0), график симметричен относительно начала координат.

Построим график функции y = x3. Составим таблицу соответственных значений x и y, округляя значения y до сотых:

х

–2

–1,5

–1

–0,5

0

1

0,5

1,5

2

у

–8

–3,38

–1

–0,13

0

1

0,13

3,38

8

Свойства функции y = x3

  • График функции неограниченно продолжается вверх справа от оси y и неограниченно продолжается вниз слева от оси y.
  • Если x = 0, то y = 0. То есть график функции проходит через начало координат.
  • Если x > 0, то y > 0, если x < 0, то y < 0, так как куб положительного числа – положительное число, а куб отрицательного числа – отрицательное число. Значит график функции расположен в первой и третьей координатных четвертях.
  • Противоположным значениям x соответствует противоположные значения y. Это следует из того, что (–x)3 = –x3 для любого значения x. Значит, точки графика, имеющие противоположные абсциссы, симметричны относительно начала координат.
  • У кубической функции не существует ни максимального, ни минимального значения.
  • Кубическая функция возрастает на всей числовой оси (–\(\infty\); +\(\infty\)).


Вопросы

  1. Для функции \(f(x)=\frac{5+x}{x^2}\) найдите значение \(f(-3)\).

  2. Найдите область определения функции.

    \(y=\frac{2x-2}{x+4x^2}\)

  3. Даны точки \(A (-0,3; -0,9), \ B(1\frac12; 2\frac14), \ C(-3\frac13; 6\frac19)\). Какая из них принадлежит графику функции \(y = x^2\)?

  4. Точка \(A(a; b)\) принадлежит графику функции \(y =  x^3\). Какая из точек \(B(–a;b), \ C(a; -b)\ и \ D (– a; –b)\) также принадлежит этому графику функции?

Сообщить об ошибке