
Скачай приложение iTest
Готовься к школьным экзаменам в более удобном формате
Системы линейных уравнений с двумя переменными
Система уравнений – это два или несколько уравнений, для которых необходимо найти все их общие решения. Систему уравнений принято записывать с помощью фигурной скобки.
Например: {2x+3y=1x−5y=0
Пара значений переменных, обращающая в истинное равенство каждое уравнение системы, называется решением системы уравнений с двумя переменными. Решить систему уравнений – значит найти множество ее решений.
Графическое решение
Графическим решением линейного уравнения являются все точки некоторой прямой на плоскости. Для системы линейных уравнений будем иметь несколько прямых (по количеству уравнений). А решением системы уравнений, будет являться точка, в которой пересекаются все прямые. Если такой точки нет, то система не будет иметь решений. Точка, в которой пересекаются все прямые, принадлежит каждой из этих прямой, поэтому решение называют общим.
Способ подстановки
Алгоритм решения системы линейных уравнений способом подстановки:
1. Выбрать одно уравнение (лучше выбирать то, где числа меньше) и выразить из него одну переменную через другую, например, x через y.
2. Полученное выражение подставить вместо соответствующей переменной в другое уравнение. Таким образом, у нас получится линейное уравнение с одной неизвестной.
3. Решаем полученное линейное уравнение и получаем решение.
4. Подставляем полученное решение в выражение, полученное в первом пункте, получаем вторую неизвестную из решения.
5. Выполнить проверку полученного решения.
Например: {2x−3y=1x+2y=4⇒{2(4−2y)−3y=1x=4−2y⇒{8−4y−3y=1x=4−2y⇒{y=1x=2
Ответ: (2; 1).
Способ сложения
Алгоритм решения системы линейных уравнений с двумя неизвестными способом сложения.
1. Если требуется, путем равносильных преобразований уравнять коэффициенты при одной из неизвестных переменных в обоих уравнениях.
2. Складывая или вычитая полученные уравнения получить линейное уравнение с одним неизвестным.
3. Решить полученное уравнение с одним неизвестным и найти одну из переменных.
4. Подставить полученное выражение в любое из двух уравнений системы и решить это уравнение, получив, таким образом, вторую переменную.
5. Сделать проверку решения.
Например:
{3x+2y=105x+3y=12
Так как одинаковых коэффициентов нет ни у одной из переменных, уравняем коэффициенты у переменной y. Для этого умножим первое уравнение на три, а второе уравнение на два.
{3x+2y=10/⋅35x+3y=12/⋅2
Получим следующую систему уравнений: из второго уравнения вычитаем первое. Приводим подобные слагаемые и решаем полученное линейное уравнение.
{39x+6y=3010x+6y=24⇒x+0=−6⇒x=−6
Полученное значение подставляем в первое уравнение из нашей исходной системы и решаем получившееся уравнение.
{3⋅(−6)+2y=102y=28 ⇒y=14
Ответ: (6; 14).
-
Решите систему уравнений.
{x4+y4=2,x6+y3=2.
-
Решите систему уравнений.
{x−y=2,2x−3y=−1.
-
Решите систему уравнений.
{2x+7y−44=0,2x−3y=−36.
-
Найдите значение x.
{9x−7y=95,4x+y=34.
-
Решите систему уравнений.
{x3+y2=6,x2−y3=2,5.
-
Решите систему уравнений.
{5x−3y=−3,−5x+3y=8.
-
Решите систему уравнений.
{6(x+y)−2y−10=0,7(y+4)−(y+16)=0.
-
Решите систему уравнений.
{2x−5y=1,6x−15y=3.
-
Решите систему уравнений.
{1x+1y=7xy,1y−1x=3xy.
-
Решите систему уравнений.
{2(x−2y)=x−8y,5(x+y)=2(x−y)+10.
-
Решите систему уравнений.
\begin{cases} 2x + y = 9, \\ x \;–\; y = 24. \end{cases}
В ответе укажите промежуток, которому принадлежит выражение (x + 2y), где x и y – решение данной системы.
-
Выясните, сколько решений имеет система.
\begin{cases} 6x-4y=12, \\ 2y+3x=6. \end{cases}
-
Выясните, сколько решений имеет система.
\begin{cases} 3x+5y=12, \\ -2y+3x=6. \end{cases}
-
Решением системы \begin{cases} x+y=1, \\ 2x-y=-10. \end{cases} служит пара чисел