Сдать пробный ЕНТ
Русский

Скачай приложение iTest

Готовься к школьным экзаменам в более удобном формате

Системы линейных уравнений с двумя переменными

Конспект

Система уравнений – это два или несколько уравнений, для которых необходимо найти все их общие решения. Систему уравнений принято записывать с помощью фигурной скобки.

Например: {2x+3y=1x5y=0

Пара значений переменных, обращающая в истинное равенство каждое уравнение системы, называется решением системы уравнений с двумя переменными. Решить систему уравнений – значит найти множество ее решений.

Графическое решение

Графическим решением линейного уравнения являются все точки некоторой прямой на плоскости. Для системы линейных уравнений будем иметь несколько прямых (по количеству уравнений). А решением системы уравнений, будет являться точка, в которой пересекаются все прямые. Если такой точки нет, то система не будет иметь решений. Точка, в которой пересекаются все прямые, принадлежит каждой из этих прямой, поэтому решение называют общим.

Способ подстановки

Алгоритм решения системы линейных уравнений способом подстановки:

1. Выбрать одно уравнение (лучше выбирать то, где числа меньше) и выразить из него одну переменную через другую, например, x через y.

2. Полученное выражение подставить вместо соответствующей переменной в другое уравнение. Таким образом, у нас получится линейное уравнение с одной неизвестной.

3. Решаем полученное линейное уравнение и получаем решение.

4. Подставляем полученное решение в выражение, полученное в первом пункте, получаем вторую неизвестную из решения.

5. Выполнить проверку полученного решения.

Например: {2x3y=1x+2y=4{2(42y)3y=1x=42y{84y3y=1x=42y{y=1x=2

Ответ: (2; 1).

Способ сложения

Алгоритм решения системы линейных уравнений с двумя неизвестными способом сложения.

1. Если требуется, путем равносильных преобразований уравнять коэффициенты при одной из неизвестных переменных в обоих уравнениях.

2. Складывая или вычитая полученные уравнения получить линейное уравнение с одним неизвестным.

3. Решить полученное уравнение с одним неизвестным и найти одну из переменных.

4. Подставить полученное выражение в любое из двух уравнений системы и решить это уравнение, получив, таким образом, вторую переменную.

5. Сделать проверку решения.

Например:

{3x+2y=105x+3y=12

Так как одинаковых коэффициентов нет ни у одной из переменных, уравняем коэффициенты у переменной y. Для этого умножим первое уравнение на три, а второе уравнение на два.

{3x+2y=10/35x+3y=12/2

Получим следующую систему уравнений: из второго уравнения вычитаем первое. Приводим подобные слагаемые и решаем полученное линейное уравнение.

{39x+6y=3010x+6y=24x+0=6x=6

Полученное значение подставляем в первое уравнение из нашей исходной системы и решаем получившееся уравнение.

{3(6)+2y=102y=28 y=14

Ответ: (6; 14).



Вопросы
  1. Решите систему уравнений.

    {x4+y4=2,x6+y3=2.

  2. Решите систему уравнений.

    {xy=2,2x3y=1.

  3. Решите систему уравнений.

    {2x+7y44=0,2x3y=36.

  4. Найдите значение x.

    {9x7y=95,4x+y=34.

  5. Решите систему уравнений.

    {x3+y2=6,x2y3=2,5.

  6. Решите систему уравнений.

    {5x3y=3,5x+3y=8.

  7. Решите систему уравнений.

    {6(x+y)2y10=0,7(y+4)(y+16)=0.

  8. Решите систему уравнений.

    {2x5y=1,6x15y=3.

  9. Решите систему уравнений.

    {1x+1y=7xy,1y1x=3xy.

  10. Решите систему уравнений.

    {2(x2y)=x8y,5(x+y)=2(xy)+10.

  11. Решите систему уравнений.

    \begin{cases} 2x + y = 9, \\ x \;–\; y = 24. \end{cases}

    В ответе укажите промежуток, которому принадлежит выражение (x + 2y), где x и y – решение данной системы.

  12. Выясните, сколько решений имеет система.

    \begin{cases} 6x-4y=12, \\ 2y+3x=6. \end{cases}

  13. Выясните, сколько решений имеет система.

    \begin{cases} 3x+5y=12, \\ -2y+3x=6. \end{cases}

  14. Решением системы \begin{cases} x+y=1, \\ 2x-y=-10. \end{cases} служит пара чисел

Сообщить об ошибке