Скачай приложение iTest

Готовься к школьным экзаменам в более удобном формате

Запомнить

Восстановить пароль

Регистрация

Задание 4

Предыдущий конспект Следующий конспект

Конспект

Решите уравнение \(36\cos^2x + 4\sin{x} = 25\) и укажите его корни, удовлетворяющие условию \(\cos{x} ≤ 0.\)

Решение.

Используя основное тригонометрическое тождество \(\sin^2x + \cos^2x = 1,\) приведем данное уравнение к квадратному относительно \(\sin{x}.\)

\(36 \cdot (1 – \sin^2x) + 4\sin{x} = 25;\)

\(– 36\sin^2x + 4\sin{x} + 36 – 25 = 0;\)

\(– 36\sin^2x + 4\sin{x} + 11 = 0.\)

Решим полученное уравнение относительно \(\sin{x}.\)

\(\left[ \begin{array}{ccc} \sin{x} = {11 \over 18}, \\ \sin{x} = -{1 \over 2}. \end{array} \right.\)

Найдем соответствующие значения \(x.\)

\(\sin{x} = {11 \over 18};\)

\(x_1 = \arcsin{11 \over 18} + 2πn, n \in Z \) – угол первой четверти;

\(x_2 = π - \arcsin{11 \over 18} + 2πm, m \in Z\) – угол второй четверти;

\(\sin{x} = -{1 \over 2};\)

\(x_3 = -\arcsin{1 \over 2} + 2πn = -{π \over 6} + 2πn, n \in Z\) – угол четвертой четверти;

\(x_4 = -π + \arcsin{1 \over 2}+2πk = -{5π \over 6} + 2πk, k \in Z\) – угол третьей четверти.

Условию \(\cos{x} ≤ 0\) удовлетворяют углы второй и третьей четвертей, таким образом, \(x_2\) и \(x_4\) являются искомыми решениями уравнения.

Ответ: \(-{5π \over 6} + 2πk, k \in Z\) и \(\pi - \arcsin{11 \over 18} + 2πm, m \in Z .\)

Материалы для повторения:

Сообщить об ошибке