+7 (727) 344 95 95
Сдать пробный ЕНТ
Русский

Скачай приложение iTest

Готовься к школьным экзаменам в более удобном формате

logo-device logotype logotype-float

Задание 4
Предыдущий конспект Следующий конспект
Конспект

Какими должны быть стороны прямоугольного участка площадью \(1600\) м², чтобы на его ограждение было израсходовано наименьшее количество материала?

Решение 1.

Пусть \(x\) – длина участка, тогда ширина участка – \({1600 \over x}.\) Данные измерения, по условию задачи, неотрицательны. Составим функцию зависимости периметра прямоугольника от его длины \(x:\) \(f(x) = 2(x+{1600 \over x}).\)

Таким образом, задача сводится к нахождению такого значения \(x,\) при котором функция \(f(x) \) принимает наименьшее значение на интервале \([0; +∞).\)

Найдем стационарные точки функции на заданном интервале.

\(f'(x) =2\Big(1 - {1600 \over x^2}\Big) ;\)

\(f'(x) = 0;\)

\(1-{1600 \over x^2}=0;\)

\(x_1 = – 40,\) \(x_2 = 40;\)

\(x_2 \in [0; +∞)\)

\(x_2 = 40\) является точкой минимума функции \(f(x),\) так как при переходе через \(x = 40\) производная меняет знак с «–» на «+». Следовательно, наибольшее значение на интервале \([0; +∞)\) функция \(f(x)\) принимает в точке \(x = 40.\)

Ответ: \(40\) – длина участка, \(40\) – ширина участка.

Решение 2.

Данная задача является задачей на оптимизацию.

1. Выделим оптимизируемую величину: \(y\) – периметр прямоугольного участка. Будем искать ее наименьшее значение.

2. За \(x\) примем длину участка, тогда \(1600 \over x\)  – ширина участка.

3. Установим область определения по условию задачи: \(x \in [0; + ∞).\)

4. Выразим оптимизируемую величину \(y\) через \(x:\) \(y(x) = 2\Big(x + {1600 \over x}\Big).\)

5. Найдем минимум данной функции на интервале \([0; + ∞).\)

\(f'(x) = 2\Big(1-{1600 \over x^2}\Big);\)

\(f'(x) = 0;\)

\(1 - {1600 \over x^2} = 0;\)

\(x_1 = –40,\) \(x_2 = 40;\)

\(x_2 \in [0; +∞)\) и \(x = 40\) являются точками минимума функции \(y, \) так как при переходе через \(x = 40\) производная меняет знак с «–» на «+».

Таким образом, составим ответ на вопрос задачи с учетом условий.

Ответ: \(40\) – длина участка, \(40\) – ширина участка.

Материалы для повторения:

10 класс – Функции и их свойства – Наибольшее и наименьшее значение функций на промежутке



Сообщить об ошибке