+7 (727) 344 95 95
Сдать пробный ЕНТ
Русский

Скачай приложение iTest

Готовься к школьным экзаменам в более удобном формате

logo-device logotype logotype-float

Задание 2
Предыдущий конспект Следующий конспект
Конспект

Вычислите ординату точки пересечения графиков функций \(y = \log_2(x+1,5)\) и \(y = -\log_2x.\)

Решение.

1) Найдем область определения функций.

а) \(y = \log_2(x+1,5);\)

\(x+1,5>0;\)

\(x>-1,5.\)

б) \(y=-\log_2x;\)

\(x>0.\)

2) Для нахождения точки пересечения графиков функций решим систему уравнений:

\(\begin{cases} y=\log_2(x+1,5), \\ y=-\log_2x. \end{cases}\)  

Используем свойство логарифма \(n\log_ab=\log_ab^n\) при \(a>0,\) \(a≠1,\) \( b>0,\) получим:

\(\begin{cases} y=\log_2(x+1,5), \\ y=\log_2x^{-1}. \end{cases}\)

\(\begin{cases} y=\log_2(x+1,5), \\ \log_2(x+1,5)=\log_2{1 \over x}. \end{cases}\)

Так как уравнение \(\log_af(x) = \log_ag(x)\) равносильно уравнению \(f(x) = g(x)\)  при \(a>1,\) получим:

\(\begin{cases} y = \log_2(x+1,5), \\ x+1,5 = {1 \over x}. \end{cases}\)

Решим дробно-рациональное уравнение.

\(x + 1,5 = {1 \over x };\)

\(x + 1,5 - {1 \over x} = 0;\)

\({x^2 + 1,5x - 1 \over x} = 0;\)

\(x^2 + 1,5x – 1=0;\)

\(D = 1,5^2 – 4⋅(–1) = 2,25 + 4 = 6,25;\)

\(x_{1,2} = {-1,5 ± \sqrt{6,25} \over 2} = {-1,5±2,5 \over 2} = \left[ \begin{array}{ccc} -2; \\ 0,5. \end{array} \right.\)

Учитывая области определения функции, вернемся к системе уравнений:

\( \begin{cases} y=\log_2(x+1,5),\\ x=0,5; \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} y=\log_22,\\ x=0,5; \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} y=1,\\ x=0,5. \end{cases}\)

Ответ: ордината точки пересечения графиков функций \(y = 1.\)

Материалы для повторения:

11 класс – Показательные и логарифмические уравнения – Логарифмические уравнения и их системы



Сообщить об ошибке