+7 (727) 344 95 95
Сдать пробный ЕНТ
Русский

Скачай приложение iTest

Готовься к школьным экзаменам в более удобном формате

logo-device logotype logotype-float

Задание 5
Предыдущий конспект Следующий конспект
Конспект

Решить уравнение: \((\sin2x+\sqrt{3}\cos2x)^2=5+\sin\Big(\frac{π}{3}+2x\Big).\)

Решение.

Используем формулу вспомогательного аргумента:

\(\sin2x+\sqrt{3}\cos2x=2\Big(\frac{1}{2}\sin2x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos2x\Big)=2\Big(\cos\frac{π}{3}\sin2x+\sin\frac{π}{3}\cos2x\Big)=\\=2\sin\Big(\frac{π}{3}+2x\Big).\)

Тогда уравнение примет следующий вид: \(\left(2\sin\Big(\frac{π}{3}+2x\Big)\right)^2=5+\sin\Big(\frac{π}{3}+2x\Big).\)

Решим квадратное уравнение относительно \(\sin\Big(\frac{π}{3}+2x\Big).\)

\(4\sin^2\Big(\frac{π}{3}+2x\Big)-\sin\Big(\frac{π}{3}+2x\Big)-5=0;\)

\(\left[\begin{matrix} \sin\Big(\frac{π}{3}+2x\Big)=\frac{5}{4}, \\ \sin\Big(\frac{π}{3}+2x\Big)=-1. \end{matrix}\right.\)

Решим каждое уравнение отдельно.

\(1) \; \sin\Big(\frac{π}{3}+2x\Big)=\frac{5}{4}.\)

Решения нет, так как \(|\sin x| ≤ 1.\)

\(2) \; \sin\Big(\frac{π}{3}+2x\Big)=-1;\)

\(2x+\frac{π}{3}=-\frac{π}{2}+πn, \, n \in Z;\)

\(2x=-\frac{5π}{6}+πn, \, n\in Z;\)

\(x=-\frac{5π}{12}+\frac{πn}{2}, \, n \in Z.\)

Ответ: \(x=-\frac{5π}{12}+\frac{πn}{2}, \, n \in Z.\)

Материалы для повторения:

10 класс – Тригонометрические функции – Тригонометрические уравнения и методы их решения



Сообщить об ошибке