+7 (727) 344 95 95
Сдать пробный ЕНТ
Русский

Скачай приложение iTest

Готовься к школьным экзаменам в более удобном формате

logo-device logotype logotype-float

Задание 6
Предыдущий конспект Следующий конспект
Конспект

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями \(y=\frac{1}{8}x^3,\) \(y=3-x,\) \(y=-4x.\)

Решение.

Построим схематично графики следующих функций:

 \(y=\frac{1}{8}x^3,\) \(y=3-x,\) \(y=-4x.\)

Построим в одной системе координат эскизы графиков заданных функций и укажем фигуру, площадь которой необходимо найти.

Площадь закрашенной фигуры определяется формулой: \(S = S_1 + S_2.\)

\(S_1=\int\limits_a^b(f(x)-g(x))dx,\) где \(g(x) = -4x,\) \(f(x) = 3 - x,\) \(a\) – абсцисса точки пересечения графиков функций и \(b = 0.\)

\(S_2=\int\limits_a^b(f(x)-g(x))dx,\) где \(g(x) = \frac{1}{8}x^3,\) \(f(x) = 3 - x,\) \(b\) – абсцисса точки пересечения графиков функций и \(a = 0.\)

Определим абсциссы точек пересечения.

\(1) \, -4x=3-x;\)

\(x = -1.\)

\(2) \; \frac{1}{8}x^3=3-x;\)

\(x = 2.\)

Таким образом, находим площадь закрашенной фигуры:

\(S=\int\limits_{-1}^0(3-x-(-4x))dx+\int\limits_0^2\Big(3-x-\Big(\frac{1}{8}x^3\Big)\Big)dx=\\=\int\limits_{-1}^0(3+3x)dx+\int\limits_0^2\Big(3-x-\frac{1}{8}x^3\Big)dx=\\=\Big(3x+\frac{3}{2}x^2\Big)\bigg|^0_{-1}+\Big(3x-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{32}x^4\Big)\bigg|^2_0=\)

\(=3-\frac{3}{2}+6-2-\frac{1}{2}=5\) кв. ед.

Ответ: \(5\) кв. ед.

Материалы для повторения:

11 класс – Первообразная и интеграл – Площадь криволинейной трапеции



Сообщить об ошибке