Задание 3

Решить систему уравнений: \(\left\{\begin{matrix} 8\cdot 2^y=4^{1,5x+0,5}, \\ 5^{2x}=\frac{1}{25} \cdot 5^y. \end{matrix}\right.\)

Решение.

Используем свойства степени: \(\big(\frac{a}{b}\big)^n=\big(\frac{b}{a}\big)^{-n},\) \(a^m \cdot a^n=a^{m+n}\) и \((a^m)^n=a^{mn},\) получим:

\(\left\{\begin{matrix} 2^3 \cdot 2^y=(2^2)^{1,5x+0,5},\\ 5^{2x}=5^{-2} \cdot 5^y; \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2^{3+y}=2^{2(1,5x+0,5)}, \\ 5^{2x}=5^{y-2}. \end{matrix}\right.\)

Так как уравнение \(a^{f(x)}=a^{g(x)}\) равносильно уравнению \(f(x)=g(x),\) получим:

\(\left\{\begin{matrix} 3+y=3x+1, \\ 2x=y-2; \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3x-y=2, \\ 2x-y=-2; \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=4, \\ y=10. \end{matrix}\right.\)

Ответ: \((4; 10).\)

Материалы для повторения:

11 класс – Показательные и логарифмические уравнения – Показательные уравнения и их системы

Сканируй QR код, скачивай приложение и учись вместе с нами

Сканируй QR код, скачивай приложение
и учись вместе с нами