Скачай приложение iTest

Готовься к школьным экзаменам в более удобном формате

Запомнить

Восстановить пароль

Регистрация

Задание 3

Предыдущий конспект Следующий конспект

Конспект

Решите неравенство: \(\text{tg} \ {x \over 2} > {\text{tg} \ x - 2 \over \text{tg} \ x + 2}.\)

Решение.

Замена:

\(\text{tg} \ {x \over 2} = a,\) причем \(x ≠ π + πk, k \in Z ,\) тогда \(\text{tg} \ x = {2a \over 1 - a^2}.\)

Исходное неравенство примет вид:

\(a > {{2a \over 1 - a^2} - 2 \over {2a \over 1 - a^2} + 2}.\)

Решим получившееся неравенство как дробно-рациональное.

\(a > {2a - 2 + 2a^2 \over 2a + 2 - 2a^2};\)

\(a - {2a - 2 + 2a^2 \over 2a + 2 - 2a^2} > 0;\)

\({2a^2 + 2a - 2a^3 - 2a + 2 - 2a^2 \over 2a + 2 - 2a^2} > 0;\)

\({1 - a^3 \over a + 1 - a^2} > 0.\)

Зададим функцию: \(y(a) = {1 - a^3 \over a + 1 - a^2}.\) Найдем промежутки знакопостоянства, в частности \(y > 0.\)

Определим нули функции и точки разрыва.

\(1 - a^3 = 0;\)

\(a = 1\) – нуль функции.

\(a + 1 - a^2 = 0;\)

\(a \in \varnothing\) – точек разрыва нет.

\(y > 0\) при \(a > 1.\)

Обратная замена:

\(\text{tg} \ {x \over 2} > 1.\)

\(\text{arctg} \ 1 + πn < {x \over 2} < {π \over 2} + πn, n \in Z;\)

\({π \over 4} + πn < {x \over 2} < {π \over 2} + πn, n \in Z;\)

\({π \over 2} + 2πn < x < π + 2πn, n \in Z.\)

Ответ: \(\Big( {π \over 2} + 2πn; π + 2πn \Big), n \in Z.\)

Материалы для повторения:

Сообщить об ошибке