+7 (727) 344 95 95
Сдать пробный ЕНТ
Русский

Скачай приложение iTest

Готовься к школьным экзаменам в более удобном формате

logo-device logotype logotype-float

Задание 5
Предыдущий конспект Следующий конспект
Конспект

Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график: \(f(x) = {x^2 - 2x + 2 \over x - 1}.\)

Решение.

1. \(D(x) = (-\infty;1) \cup (1;+\infty),\) \(E(y) = (-\infty;- 2] \cup [2 ;+\infty).\)

2. Функция ни четная, ни нечетная, так как не выполняются условия: \(y(–x) = –y(x);\)  \(y(–x) = y(x).\)

3. Функция не является периодической, так как не существует такого числа \(T,\) чтобы выполнялось условие \(y(x + T) = y(x)\) на всей области определения функции.

4. Определим точки пересечения графика исследуемой функции с осями координат.

 С \(Ox:\) \(y = 0;\)

\({x^2 - 2x + 2 \over x - 1} = 0.\)

Не имеет решения.

С \(Oy: \) \(x = 0,\) то \(y = –2.\)

5. Найдем промежутки знакопостоянства.

\(y > 0\) при \(x \in (1; +\infty);\)

\(y < 0\) при \(x \in (–\infty; 1).\)

6. Исследуем функцию на монотонность.

Найдем производную функции:

\(y' = {(x^2 - 2x + 2)' \cdot (x - 1) - (x^2 - 2x + 2) \cdot (x - 1)' \over (x - 1)^2} = {(2x - 2) \cdot (x - 1) - (x^2 - 2x + 2) \cdot 1 \over (x - 1)^2} = {x^2 - 2x \over (x - 1)^2}.\)

Определим критические точки: \(y' = 0.\)

\({x^2 - 2x \over (x - 1)^2} = 0; \) \(x_1 = 0; \) \(x_2 = 1.\)

Критические точки:  \(x_1 = 0;\)  \(x_2 = 1.\)

Промежутки возрастания и убывания:

\({x^2 - 2x \over (x - 1)^2} > 0;\) \(x \in (-\infty; 0] \cup [2; +\infty).\)

\({x^2 - 2x \over (x - 1)^2} < 0;\) \(x \in [0; 1) \cup (1; 2].\)

Значит, при \(x \in (-\infty; 0] \cup [2; +\infty)\) функция возрастает,

при \(x \in [0; 1) \cup (1; 2]\) функция убывает.

\((2 ;2) -\) точки минимума функции;

\((0; -2) –\) точки максимума функции.

Используя исследование, выполним построение графика.

Материалы для повторения:

10 класс – Функции и их свойства – Исследование функции



Сообщить об ошибке