+7 (727) 344 95 95
Сдать пробный ЕНТ
Русский

Скачай приложение iTest

Готовься к школьным экзаменам в более удобном формате

logo-device logotype logotype-float

Задание 6
Предыдущий конспект Следующий конспект
Конспект

Найдите наименьшую полную поверхность цилиндра, объем которого равен \({π \over 4}.\)

Решение.

Данная задача является задачей на оптимизацию.

1. Выделим оптимизируемую величину: \( V\)  – объем цилиндра \((V = πR^2H).\) Будем искать его наименьшее значение.

2. Известно, что объем равен \({π \over 4}.\) Выразим высоту \((H)\) через радиус \((R).\)

\(V = πR^2H = {π \over 4};\)

\(R^2H = {1 \over 4};\)

\(H = {1 \over 4R^2}.\)

Площадь полной поверхности цилиндра:

\(S = 2πR^2 + 2πRH;\)

\(S = 2πR^2 + 2πR \cdot {1 \over 4R^2};\)

\(S = 2πR^2 + 2π \cdot {1 \over 4R}.\)

3. Установим область определения: \(R \in (0; +\infty).\)

4. Выразим оптимизируемую величину \(f(R)\)  через \(R:\)

\(f(R) = 2πR^2 + 2π \cdot {1 \over 4R}.\)

5. Найдем минимум данной функции на отрезке \((0; +\infty).\)

\(f'(R) = 4πR - π \cdot {1 \over 2R^2};\)

\(f'(R) = 0;\)

\(4πR - π \cdot {1 \over 2R^2} = 0;\)

\(π \cdot \Big(4R - {1 \over 2R^2}\Big) = 0;\)

\({8R^3 - 1 \over 2R^2} = 0;\)

\(R^3 = {1 \over 8};\)

\(R = {1 \over 2} \in (0; +\infty).  \)

\(R = {1 \over 2}\)  является точкой минимума функции \(f(R),\) так как при переходе через \(R = {1 \over 2}\) производная меняет знак с «–» на «+».

Таким образом, составим ответ на вопрос задачи с учетом условий.

 \(f(R) = 2π \cdot \Big({1 \over 2}\Big)^2 + 2π \cdot {1 \over 4 \cdot {1 \over 2}} = 2π \cdot {1 \over 4} + 2π \cdot {1 \over 4 \cdot {1 \over 2}} =\)  

\(= {π \over 2} + π = {3π \over 2}\) кв.ед.

Ответ: наименьшая полная поверхность цилиндра равна  \({3π \over 2}\)  кв.ед.

Материалы для повторения:

10 класс – Функции и их свойства – Наибольшее и наименьшее значение функций на промежутке



Сообщить об ошибке