+7 (727) 344 95 95
Сдать пробный ЕНТ
Русский

Скачай приложение iTest

Готовься к школьным экзаменам в более удобном формате

logo-device logotype logotype-float

Задание 5
Предыдущий конспект Следующий конспект
Конспект

Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции \(y=- {1 \over 4}x^2 + 1\) и касательными, проведенными к этому графику в точках пересечения его с осью абсцисс.

Решение.

1. Найдем нули функции \(y = -{1 \over 4}x^2+1.\)

\(-{1 \over 4}x^2 + 1 = 0;\)

\(x^2 = 4;\)

\(x = ± 2.\)

Таким образом, \((–2; 0)\) и \((2; 0)\) – точки пересечения графика функции с осью абсцисс.

2. Составим уравнение касательной, проходящей через точку с абсциссой \(x_0 = –2.\)

\(y'(x) = –0,5x;\)

\(y'(–2) = 1;\)

\(y = 1 \cdot (x + 2) + 0 = x + 2.\)

3. Составим уравнение касательной, проходящей через точку с абсциссой \(x_0 = 2.\)

\(y'(x) = –0,5x;\)

\(y'(2) = –1;\)

\(y = –1 \cdot (x – 2) + 0 = – x + 2.\)

4. Построим в одной системе координат эскизы графиков заданных функций и укажем фигуру, площадь которой необходимо найти.

Фигура симметрична относительно оси \(Oy,\) получим:

 \(S = 2 \int\limits_0^2 \Big((-x + 2) - \Big(-{1 \over 4}x^2 + 1\Big)\Big) dx = 2 \Big({1 \over 12}x^3 - {1 \over 2}x^2 + x\Big) \bigg |^2_0 =\) 

\(= 2 \cdot \Big({1 \over 12} \cdot 2^3 - {1 \over 2} \cdot 2^2 + 2\Big) = 1{1 \over 3}\) кв. ед.

Ответ: \(1 {1 \over 3}\) кв. ед.  

Материалы для повторения:

11 класс – Первообразная и интеграл – Площадь криволинейной трапеции



Сообщить об ошибке