Скачай приложение iTest

Готовься к школьным экзаменам в более удобном формате

Запомнить

Восстановить пароль

Регистрация

Задание 6

Предыдущий конспект Следующий конспект

Конспект

Сколько корней имеет уравнение \(3x^2 – x^3 = a\) при \(0 < a < 4?\)

Решение.

1. Решим уравнение графически, изобразив в одной системе координат графики функций \(y = 3x^2 – x^3\) и \(y = a.\)

2. Графиком функции \(y = a\) при \(0 < a < 4 \) является прямая, параллельная оси \(Ox\) и проходящая через точку \((0; a).\)

3. Для построения графика функции \(y = 3x^2 – x^3\) выполним исследование функции.

1) \(D(x) = R,\) \(E(y) = R.\)

2) Функция общего вида, не периодичная.

3) С осью \(Ox\) пересекается в точках \((0; 0)\) и \((3; 0);\)

с осью \(Oy\) пересекается в точке \((0; 0).\)

4) \(y > 0\) при \(x \in (– \infty; 0) \cup (0; 3);\)

\(y < 0\) при \(x \in (3; \infty).\)

5) \(y' = 6x – 3x^2.\)

Заполним таблицу.

\(x\)	\((–∞; 0)\)	\(0\)	\((0; 2)\)	\(2\)	\((2; +∞)\)
Производная	\(+\)	\(0\)	\(–\)	\(0\)	\(+ \)
Функция	возрастает	\(0\)	убывает	\(4\)	возрастает

4. Получим следующий эскиз:

Таким образом, при \(0 < a < 4\) графики имеют три точки пересечения, т. е. уравнение \(3x^2 – x^3 = a\) при \(0 < a < 4\) имеет три корня.

Ответ: \(3\) корня.

Материалы для повторения:

Сообщить об ошибке