Задание 3

Решите систему уравнений: \(\begin{cases} \log_3x+\log_3y=1,\\ 3^{x-y}=\Big (\frac{1}{27}\Big )^{-\frac23}.\end{cases}\)

Решение 1.

1. Учитывая, что \(x > 0,\) \(y > 0,\) приведем первое уравнение системы к равносильному уравнению:

\(\log_3x+\log_3y=1;\)

\(\log_3(xy)=1;\)

\(xy = 3.\)

2. Используя свойства степени, приведем второе уравнение системы к равносильному:

\(3^{x-y}=\Big(\frac{1}{27}\Big)^{-\frac23};\)

\(3^{x-y}=(3^{-3})^{-\frac{2}{3}};\)

\(3^{x-y}=3^{-3\cdot\big(-\frac23\big)};\)

\(3^{x-y}=3^2;\)

\(x – y = 2.\)

3. Выразим переменную \(x\) из получившегося уравнения:

\(x = 2 + y.\)

4. Подставим полученное выражение вместо переменной \(x\) в первое уравнение. Решим получившееся квадратное уравнение:

\((2 + y) y = 3;\)

\(y^2 + 2y – 3 = 0. \)

5. Учитывая, что \(x > 0,\) \(y > 0,\) найдем значение второй переменной и осуществим отбор корней:

\(\begin{cases} x=3,\\y=1. \end{cases}\)

Ответ: \(x = 3,\) \(y = 1,\) или \((3; 1).\)

Решение 2.

\(\begin{cases} \log_3x+\log_3y=1,\\ 3^{x-y}=\big(\frac{1}{27}\big)^{-\frac23}; \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x>0,\\ y>0,\\ \log_3(xy)=1,\\ 3^{x-y}=(3^{-3})^{-\frac23};\\ \end{cases} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \begin{cases} x>0,\\ y>0,\\ xy=3,\\ 3^{x-y}=3^{-3\cdot\big(-\frac23\big)};\\ \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x>0,\\ y>0,\\ xy=3,\\ 3^{x-y}=3^2;\\  \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x>0,\\ y>0,\\ xy=3,\\ x-y=2;\\  \end{cases} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \begin{cases} x>0,\\ y>0,\\ xy=3,\\ x=2+y;\\ \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x>0,\\ y>0,\\ x=2+y,\\ (2+y)y=3;\\ \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x>0,\\ y>0,\\ x=2+y,\\ y^2+2y-3=0;\\ \end{cases} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \begin{cases} x>0,\\ y>0,\\ x=2+y;\\ \left[ \begin{array}{ccc} y_1=-3,\\ y_2=1; \end{array} \right. \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=3,\\ y=1.\\ \end{cases}\)

Ответ: \(x = 3,\) \(y = 1,\) или \((3; 1).\)

Материалы для повторения:

11 класс – Показательные и логарифмические уравнения – Логарифмические уравнения и их системы

11 класс – Показательные и логарифмические уравнения – Показательные уравнения и их системы